Dados
. Mostre que se
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados subespaços S, T, U de um espaço vetorial V com U ⊆ S, vale
Vamos usar a definição de soma de subespaços e propriedades de interseção e fechamento de subespaços.
Passo 2
Primeiro mostramos que
Seja
. Então
e existe decomposição
com
e
. Como
, temos
. E como
e
é subespaço, segue que
Logo
e
. Assim
estabelecendo a inclusão desejada.
Passo 3
Agora mostramos a outra inclusão:
Seja
. Então existem
e
tais que
Como
e
, pelo fechamento de
temos
. Além disso
e
implicam
. Portanto
Isso completa a segunda inclusão.
Passo 4
Juntando as duas inclusões concluímos que
Resposta
S \cap (T+U) = (S \cap T) + (S \cap U)