Dados S, T, U subset V. Mostre que se U subset S, então
S cap(T+U)=(S cap T)+(S cap U)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados subespaços S, T, U de um espaço vetorial V com U ⊆ S, vale
S cap (T+U) ,=, (S cap T) + (S cap U)
Vamos usar a definição de soma de subespaços e propriedades de interseção e fechamento de subespaços.

Passo 2

Primeiro mostramos que
S cap (T+U) subset (S cap T) + (S cap U)
Seja xin S cap (T+U). Então xin S e existe decomposição
x = t + u,
com tin T e uin U. Como Usubset S, temos uin S. E como xin S e S é subespaço, segue que
t = x - u in S
Logo tin Tcap S e uin Ucap S. Assim
x = t + u in (Scap T) + (Scap U),
estabelecendo a inclusão desejada.

Passo 3

Agora mostramos a outra inclusão:
(S cap T) + (S cap U) subset S cap (T+U)
Seja xin (S cap T) + (S cap U). Então existem tin Scap T e uin Scap U tais que
x = t + u
Como tin S e uin S, pelo fechamento de S temos xin S. Além disso tin T e uin U implicam xin T+U. Portanto
xin Scap (T+U)
Isso completa a segunda inclusão.

Passo 4

Juntando as duas inclusões concluímos que
S cap (T+U) = (S cap T) + (S cap U)

Resposta

S \cap (T+U) = (S \cap T) + (S \cap U)

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