Seja V=A+B e seja a soma direta externa E=A 田 . Defina a aplicação tau : A boxplus B A+B como tau:(a, b)=a+b. Prove que tal élinear. Qual o kernel de tau ? Quando tau é um isomorfismo.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a aplicação tau: Aboxplus Bto A+B, definida por tau(a,b)=a+b, é linear, determinar seu núcleo e caracterizar quando ela é isomorfismo.

Passo 2

Para provar a linearidade, lembramos que em Aboxplus B as operações são feitas componente a componente:
$$(a,b)+(a’,b’)=(a+a’,b+b’), \quad \lambda\cdot(a,b)=(\lambda a,\lambda b).
$$ Então
(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b'), lambdacdot(a,b)=(lambda a,lambda b)
$$\tau\bigl(\lambda,(a,b)\bigr)=\tau(\lambda a,\lambda b)=\lambda a+\lambda b=\lambda(a+b)=\lambda,\tau(a,b).
$$ Logo taul((a,b)+(a',b')r)=tau(a+a',b+b')=(a+a')+(b+b')=(a+b)+(a'+b')=tau(a,b)+tau(a',b'), é linear.

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
tau(a,b)=0implies a+b=0implies b=-a
Como ain A e bin B, temos -ain B, isto é, ain Acap B. Portanto
$$\ker\tau={(a,b)\in A\boxplus B: b=-a}={(a,-a):a\in A\cap B}.
$$

Passo 4

A aplicação tau é sempre sobrejetora, pois todo vetor em A+B pode ser escrito como soma de um ain A e um bin B, dando um preimagem (a,b). Para ser isomorfismo precisamos também de injetividade, ou seja kertau=(0,0). Isso ocorre exatamente quando Acap B=0.

Resposta

kertau=(a,-a):ain Acap B Além disso, tau é isomorfismo se, e somente se, Acap B=0.

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