Seja
e seja a soma direta externa
田 . Defina a aplicação
:
como
. Prove que tal élinear. Qual o kernel de
? Quando
é um isomorfismo.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a aplicação
, definida por
, é linear, determinar seu núcleo e caracterizar quando ela é isomorfismo.
Passo 2
Para provar a linearidade, lembramos que em
as operações são feitas componente a componente:
$$(a,b)+(a’,b’)=(a+a’,b+b’), \quad \lambda\cdot(a,b)=(\lambda a,\lambda b).
$$ Então
$$\tau\bigl(\lambda,(a,b)\bigr)=\tau(\lambda a,\lambda b)=\lambda a+\lambda b=\lambda(a+b)=\lambda,\tau(a,b).
$$ Logo
é linear.
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
Como
$$\ker\tau={(a,b)\in A\boxplus B: b=-a}={(a,-a):a\in A\cap B}.
$$
Passo 4
A aplicação
é sempre sobrejetora, pois todo vetor em
pode ser escrito como soma de um
e um
, dando um preimagem
. Para ser isomorfismo precisamos também de injetividade, ou seja
. Isso ocorre exatamente quando
.