Prove que
é isomorfo a
.
Passo 1
Resumindo, a questão pede para mostrar que o espaço quociente
(onde identificamos
a uma reta em
) é isomorfo a
. Vamos usar teoria de espaços quocientes e o Teorema do Núcleo e Imagem pra construir um isomorfismo explícito.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher de forma clara qual subespaço de dimensão 1 em
corresponde a
. Uma escolha padrão é a reta diagonal
Note que
é isomorfo a
e temos o espaço quociente
.
Passo 3
Agora, para aplicar o Teorema do Núcleo e Imagem, definimos a aplicação linear
por
É fácil ver que o valor de
não muda se adicionarmos um vetor de
, pois em cada coordenada a diferença se anula.
Passo 4
Vamos verificar o Núcleo de
:
Isso força
, ou seja
Pela definição de espaço quociente,
induz um isomorfismo
.
Passo 5
Agora basta notar que
é sobrejetora em
. De fato, dado qualquer
, basta tomar
e então
Logo,
.
Passo 6
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, já temos
Esse é exatamente o isomorfismo pedido.
Resposta
O isomorfismo é dado pela aplicação induzida
que é linear, bijetora e bem definida, mostrando que
.