Prove que R^n / R é isomorfo a R^n-1.

Passo 1

Resumindo, a questão pede para mostrar que o espaço quociente R^n/R (onde identificamos R a uma reta em R^n) é isomorfo a R^n-1. Vamos usar teoria de espaços quocientes e o Teorema do Núcleo e Imagem pra construir um isomorfismo explícito.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher de forma clara qual subespaço de dimensão 1 em R^n corresponde a R. Uma escolha padrão é a reta diagonal
D=(x,x,dots,x):xinRsubsetR^n
Note que D é isomorfo a R e temos o espaço quociente R^n/D.

Passo 3

Agora, para aplicar o Teorema do Núcleo e Imagem, definimos a aplicação linear
phi:R^ntoR^n-1,
por
phi(x1,x2,dots,xn)=(x1-xn,;x2-xn,;dots,;xn-1-xn)
É fácil ver que o valor de phi não muda se adicionarmos um vetor de D, pois em cada coordenada a diferença se anula.

Passo 4

Vamos verificar o Núcleo de phi:
kerphi=(x1,dots,xn):xi-xn=0 para i=1,dots,n-1
Isso força x1=cdots=xn-1=xn, ou seja
kerphi=D
Pela definição de espaço quociente, phi induz um isomorfismo
hatphi:R^n/DtoIm(phi).

Passo 5

Agora basta notar que phi é sobrejetora em R^n-1. De fato, dado qualquer (y1,dots,yn-1), basta tomar
(x1,dots,xn)=(y1,y2,dots,yn-1,0)
e então
phi(x1,dots,xn)=(y1,dots,yn-1)
Logo, Im(phi)=R^n-1.

Passo 6

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, já temos
R^n/DsimeqR^n-1
Esse é exatamente o isomorfismo pedido.

Resposta

O isomorfismo é dado pela aplicação induzida
hatphi:R^n/DlongrightarrowR^n-1, hatphil([x1,dots,xn]r)=(x1-xn,dots,xn-1-xn),
que é linear, bijetora e bem definida, mostrando que
R^n/RsimeqR^n-1.

Exercícios relacionados