Dados M, N subset L. Prove que a seguinte aplicação é um isomorfismo linear
(M+N) / N M /(M cap N): m+n+N mapsto m+M cap N

Passo 1

Temos os subespaços vetoriais M, N subset L e queremos mostrar que a aplicação
phi : (M+N)/N to M/(Mcap N), phi(m + n + N) = m + (Mcap N)
é um isomorfismo linear. Vamos precisar usar a definição de espaço quociente, de soma e interseção de subespaços, e as definições de aplicação bem-definida, linear, injetiva e sobrejetiva.

Passo 2

Primeiro, verificar que phi é bem-definida: se um elemento de (M+N)/N tiver duas representações diferentes
m + n = m' + n',
com m,m'in M e n,n'in N, então
m - m' = n' - n in M cap N
Isso implica
m + (Mcap N) = m' + (Mcap N), \nlogo a imagem não depende da escolha de m,n.

Passo 3

Agora mostramos que phi é linear. Dados x1 = m1 + n1 + N e x2 = m2 + n2 + N em (M+N)/N e escalar alpha, temos:
phi(x1 + x2) = phil((m1 + m2) + (n1 + n2) + Nr) = (m1 + m2) + (Mcap N) = l(m1 + (Mcap N)r) + l(m2 + (Mcap N)r) = phi(x1) + phi(x2),
phi(alpha x1) = phil(alpha m1 + alpha n1 + Nr) = alpha m1 + (Mcap N) = alphal(m1 + (Mcap N)r) = alpha,phi(x1)
Portanto phi é linear.

Passo 4

Para injetividade, consideramos o núcleo:
phi(m + n + N) = 0 + (Mcap N) Long<=ftrightarrow m in Mcap N
Então m+nin N, pois min N e nin N. Logo
m+n+N = N, \nque é o vetor zero de (M+N)/N. Assim apenas o zero vai para zero, e phi é injetiva.

Passo 5

Para sobrejetividade, seja um coset arbitrário m + (Mcap N) em M/(Mcap N) com min M. Como min Msubset M+N, temos
phi(m + 0 + N) = m + (Mcap N)
Logo todo elemento do codomínio tem um preimagem, e phi é sobrejetiva.

Resposta

A aplicação phi é um isomorfismo linear, pois é bem-definida, linear, injetiva e sobrejetiva.

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