Dados
. Prove que a seguinte aplicação é um isomorfismo linear
Passo 1
Temos os subespaços vetoriais
e queremos mostrar que a aplicação
é um isomorfismo linear. Vamos precisar usar a definição de espaço quociente, de soma e interseção de subespaços, e as definições de aplicação bem-definida, linear, injetiva e sobrejetiva.
Passo 2
Primeiro, verificar que
é bem-definida: se um elemento de
tiver duas representações diferentes
com
e
, então
Isso implica
Passo 3
Agora mostramos que
é linear. Dados
e
em
e escalar
, temos:
Portanto
é linear.
Passo 4
Para injetividade, consideramos o núcleo:
Então
, pois
e
. Logo
Passo 5
Para sobrejetividade, seja um coset arbitrário
em
com
. Como
, temos
Logo todo elemento do codomínio tem um preimagem, e
é sobrejetiva.
Resposta
A aplicação
é um isomorfismo linear, pois é bem-definida, linear, injetiva e sobrejetiva.