Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de:
o primeiro número obtido ser maior que o segundo?
o primeiro número obtido ser maior que o segundo?
Passo 1
O enunciado diz: um dado é lançado duas vezes sucessivamente. A pergunta é: qual a probabilidade de o primeiro número obtido ser maior que o segundo?
Informações dadas (assumidas como padrão): o dado tem seis faces numeradas de a
e é justo (cada face é equiprovável). Os dois lançamentos são sucessivos e independentes (o resultado do primeiro não altera a probabilidade do segundo). Não vamos resolver nada ainda — só listei o que o problema pede e os dados disponíveis.
Informações dadas (assumidas como padrão): o dado tem seis faces numeradas de
Passo 2
Definimos o que queremos calcular com uma fórmula simples de contagem para experimentos com resultados equiprováveis. Se todos os resultados possíveis do experimento são equiprováveis, então a probabilidade de um evento
é
Aqui:
-
é a probabilidade do evento “o primeiro número é maior que o segundo”; - “número de resultados favoráveis” é a quantidade de pares ordenados
com sendo o resultado do primeiro lançamento e do segundo, tal que ; - “número total de resultados possíveis” é o total de pares ordenados
possíveis.
Passo 3
Calculemos o número total de resultados possíveis. Para cada lançamento o dado pode dar
ou
. Como são dois lançamentos independentes, o total de pares ordenados é
Ou seja, o espaço amostral tem
resultados equiprováveis:
.
Passo 4
Agora contamos os resultados favoráveis, ou seja, todos os pares
com
. Podemos fazer isso fixando o valor do primeiro lançamento
e contando quantos
menores existem:
- Se
, não existe , então favoráveis. - Se
, existe , então favorável. - Se
, existem , então favoráveis. - Se
, existem , então favoráveis. - Se
, existem , então favoráveis. - Se
, existem , então favoráveis.
Somando:
Passo 5
Compute a soma dos favoráveis. Vamos somar passo a passo para ficar bem claro:
Portanto
Passo 6
Aplicando a fórmula da probabilidade com os números que achamos:
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 7
Mostro também um raciocínio alternativo (útil em prova) usando simetria, que dá o mesmo resultado mais rápido: por simetria, a probabilidade de
é igual à probabilidade de
. A única outra possibilidade é
. A probabilidade de empate é
porque os pares iguais são
, ou seja
casos. Como as três possibilidades partitionam o espaço,
Pelo argumento de simetria
, então
logo
mesmo resultado. Esse método costuma ser mais rápido em prova.
Passo 8
Um mini-exemplo para fixar: se o dado tivesse só
faces
, total seria
e favoráveis seriam
, então
. A ideia é a mesma, só muda o tamanho do espaço.