Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de:
o primeiro número obtido ser maior que o segundo?

Passo 1

O enunciado diz: um dado é lançado duas vezes sucessivamente. A pergunta é: qual a probabilidade de o primeiro número obtido ser maior que o segundo?
Informações dadas (assumidas como padrão): o dado tem seis faces numeradas de 1 a 6 e é justo (cada face é equiprovável). Os dois lançamentos são sucessivos e independentes (o resultado do primeiro não altera a probabilidade do segundo). Não vamos resolver nada ainda — só listei o que o problema pede e os dados disponíveis.

Passo 2

Definimos o que queremos calcular com uma fórmula simples de contagem para experimentos com resultados equiprováveis. Se todos os resultados possíveis do experimento são equiprováveis, então a probabilidade de um evento E é
P(E)=\frac{\text{número de resultados favoráveis a }E}{\text{número total de resultados possíveis}}.úáúí
Aqui:
  • P(E) é a probabilidade do evento “o primeiro número é maior que o segundo”;
  • “número de resultados favoráveis” é a quantidade de pares ordenados (x,y) com x sendo o resultado do primeiro lançamento e y do segundo, tal que x>y;
  • “número total de resultados possíveis” é o total de pares ordenados (x,y) possíveis.

Passo 3

Calculemos o número total de resultados possíveis. Para cada lançamento o dado pode dar 1,2,3,4,5 ou 6. Como são dois lançamentos independentes, o total de pares ordenados é
\text{total} = 6 \times 6 = 36.
Ou seja, o espaço amostral tem \,36\; resultados equiprováveis: (1,1),(1,2),\dots,(6,6).

Passo 4

Agora contamos os resultados favoráveis, ou seja, todos os pares (x,y) com x>y. Podemos fazer isso fixando o valor do primeiro lançamento x e contando quantos y menores existem:
  • Se x=1, não existe y<1, então 0 favoráveis.
  • Se x=2, existe y=1, então 1 favorável.
  • Se x=3, existem y=1,2, então 2 favoráveis.
  • Se x=4, existem y=1,2,3, então 3 favoráveis.
  • Se x=5, existem y=1,2,3,4, então 4 favoráveis.
  • Se x=6, existem y=1,2,3,4,5, então 5 favoráveis.
Somando:
\text{favoráveis}=0+1+2+3+4+5.á

Passo 5

Compute a soma dos favoráveis. Vamos somar passo a passo para ficar bem claro:
0+1=1,
1+2=3,
3+3=6,
6+4=10,
10+5=15.
Portanto
\text{favoráveis}=15.á

Passo 6

Aplicando a fórmula da probabilidade com os números que achamos:
P(\text{o primeiro}>\text{o segundo})=\frac{\text{favoráveis}}{\text{total}}=\frac{15}{36}.á
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{15}{36}=\frac{15\div 3}{36\div 3}=\frac{5}{12}.

Passo 7

Mostro também um raciocínio alternativo (útil em prova) usando simetria, que dá o mesmo resultado mais rápido: por simetria, a probabilidade de x>y é igual à probabilidade de x<y. A única outra possibilidade é x=y. A probabilidade de empate é
P(x=y)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},
porque os pares iguais são (1,1),(2,2),\dots,(6,6), ou seja 6 casos. Como as três possibilidades partitionam o espaço,
P(x>y)+P(x<y)+P(x=y)=1.
Pelo argumento de simetria P(x>y)=P(x<y), então
2P(x>y)+\frac{1}{6}=1 \quad\Rightarrow\quad 2P(x>y)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6},
logo
P(x>y)=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{12},
mesmo resultado. Esse método costuma ser mais rápido em prova.

Passo 8

Um mini-exemplo para fixar: se o dado tivesse só 3 faces \{1,2,3\}, total seria 3\times 3=9 e favoráveis seriam 0+1+2=3, então P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}. A ideia é a mesma, só muda o tamanho do espaço.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

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