Dado \left(\vec{r}=5 t \hat{\imath}+t^{2} \hat{\jmath}\right) m, determinar o vetor velocidade \vec{v}. Em seguida, calcular a magnitude e a orientação de \vec{v} no instante \mathrm{t}=3,0 \mathrm{~s}.
{ }^{\text {a. }} \vec{v}=1,7 \hat{\imath}+0,7 t \hat{\jmath}[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] ; 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \alpha=50,1^{\circ} e \beta=39,7^{\circ}
{ }^{\text {b. }} \vec{v}=5 \hat{\imath}+2 t \hat{\jmath}[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] ; 7,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \alpha=50,1^{\circ} e \beta=39,70
◯ c. \vec{v}=5 \hat{\imath}+2 t \hat{\jmath}[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] ; 7,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \alpha=22,2^{\circ} e \beta=68,3^{\circ}
{ }^{\text {d. }} \vec{v}=5 \hat{\imath}+2 t \hat{\jmath}[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] ; 5,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \alpha=22,2^{\circ} e \beta=68,3^{\circ}
◯ e. \vec{v}=1,7 \hat{\imath}+0,7 t \hat{\jmath}[\mathrm{~m} / \mathrm{s}] ; 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \alpha=19,2^{\circ} e \beta=67,1^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá a posição como função do tempo
\vec{r}(t)=5\,t\,\hat{\imath}+t^{2}\,\hat{\jmath}\quad[\mathrm{m}]
e pede:
  • determinar o vetor velocidade \vec{v}(t);
  • calcular a magnitude de \vec{v} no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s};
  • calcular a orientação de \vec{v} no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s} (ângulos que o vetor forma com os eixos).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Se
\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{\imath}+y(t)\,\hat{\jmath},
então
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\,\hat{\imath}+\frac{dy}{dt}\,\hat{\jmath}.
Aqui x(t) é a componente x da posição (em metros) e y(t) é a componente y. A derivada \dfrac{dx}{dt} dá a componente x da velocidade (em m/s) e \dfrac{dy}{dt} dá a componente y da velocidade.

Passo 3

Aplicando a regra da derivada às componentes dadas:
x(t)=5t \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=5,
y(t)=t^{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=2t.
Logo o vetor velocidade geral é
\vec{v}(t)=5\,\hat{\imath}+2t\,\hat{\jmath}\quad[\mathrm{m/s}].

Passo 4

Avaliar em t=3{,}0\\ \mathrm{s}:
v_x=5\\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=2\cdot 3=6\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\vec{v}(3{,}0)=5\,\hat{\imath}+6\,\hat{\jmath}\quad[\mathrm{m/s}].

Passo 5

Magnitude: usar o Teorema de Pitágoras para o vetor em duas componentes:
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}=\sqrt{5^{2}+6^{2}}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}.
Aproximação: \sqrt{61}\approx7{,}81, que arredondando para uma casa decimal dá 7{,}8\\ \mathrm{m/s}. (Observação prática: \,7{,}8^{2}=60{,}84 e \,7{,}81^{2}=60{,}9961, muito próximo de 61.)

Passo 6

Orientação: ângulo \alpha com o eixo x (medido a partir do eixo x positivo até o vetor) e ângulo \beta com o eixo y (medido a partir do eixo y positivo até o vetor). Usamos a função arco-tangente:
\alpha=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{6}{5}\right),
\beta=\arctan\!\left(\frac{v_x}{v_y}\right)=\arctan\!\left(\frac{5}{6}\right).
Calculando (em graus):
\alpha\approx50{,}2^\circ\quad\text{e}\quad \beta\approx39{,}8^\circ.
(Mesma informação, alternativa prática: \alpha\approx50{,}1^\circ e \beta\approx39{,}8^\circ, compatível com arredondamentos.)

Resposta

\vec{v}(t)=5\,\hat{\imath}+2t\,\hat{\jmath}\\ [\mathrm{m/s}]
\|\vec{v}(3{,}0)\|=\sqrt{61}\approx7{,}8\\ \mathrm{m/s}
\alpha\approx50{,}2^\circ,\\ \beta\approx39{,}8^\circ

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