A hélice de um ventilador completa 720 rotações em cada minuto. Um ponto da hélice dista 0,20 m do centro. (a) Qual a distância percorrida por esse ponto em uma volta? (b) Qual a magnitude de sua velocidade? (c) Qual a magnitude de sua aceleração?
◯ a. 1,26 \mathrm{~m} ; 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 1,8 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
◯ b. 1,26 \mathrm{~m} ; 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 1,1 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
◯ C. 1,26 \mathrm{~m} ; 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 1,1 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
◯ d. 1,56 \mathrm{~m} ; 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 1,1 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
◯ e. 1,56 \mathrm{~m} ; 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 1,8 \times 10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • A hélice completa 720 rotações por minuto.
  • Um ponto da hélice está a 0,20\\ \mathrm{m} do centro (ou seja, o raio é r=0,20\\ \mathrm{m}).
O enunciado pede:
(a) a distância percorrida por esse ponto em uma volta (ou seja, o comprimento da circunferência de raio r);
(b) a magnitude da velocidade desse ponto (velocidade tangencial);
(c) a magnitude da aceleração desse ponto (aceleração centrípeta).

Passo 2

Distância percorrida em uma volta: isso é o comprimento da circunferência de raio r. A fórmula do comprimento de uma circunferência é
C = 2\pi r,
onde C é o comprimento (distância percorrida em uma volta), \pi é a constante \approx 3{,}14159 e r é o raio.
Substituindo r=0,20\\ \mathrm{m}:
C = 2\pi(0,20)=0{,}40\pi\\ \mathrm{m}.
Agora calculando numericamente:
C \approx 0{,}40\times 3{,}14159 = 1{,}25664\\ \mathrm{m}.
Arredondando com duas casas decimais: C \approx 1{,}26\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Vamos obter a velocidade tangencial. Primeiro convertendo a rotação por minuto para frequência e velocidade angular.
A hélice faz 720 rotações por minuto. Converter para rotações por segundo (frequência f):
f = \frac{720}{60} = 12\\ \text{rotações/s} = 12\\ \mathrm{Hz}.çõ
A velocidade angular \omega (em rad/s) está relacionada a f por
\omega = 2\pi f.
Logo
\omega = 2\pi(12)=24\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\omega \approx 24\times 3{,}14159 = 75{,}398\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Velocidade tangencial (magnitude): a relação entre velocidade tangencial v, velocidade angular \omega e raio r é
v = \omega r,
onde v tem unidade de \mathrm{m/s}, \omega de \mathrm{rad/s} e r de \mathrm{m}.
Substituindo \omega=24\pi e r=0,20:
v = (24\pi)(0,20)=4{,}8\pi\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico:
v \approx 4{,}8\times 3{,}14159 = 15{,}70796\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando: v \approx 15{,}7\\ \mathrm{m/s}. (Nas alternativas aparece 15\\ \mathrm{m/s}, que é o arredondamento para um algarismo significativo.)
Observação alternativa (mesma conta de outro jeito): também dá para usar v = 2\pi r f = C\cdot f = 1{,}25664\times 12 \approx 15{,}7077\\ \mathrm{m/s}, mesma coisa.

Passo 5

Aceleração centrípeta (magnitude): para movimento circular uniforme a aceleração centrípeta é dada por duas fórmulas equivalentes:
a_c = \frac{v^2}{r} \quad\text{ou}\quad a_c = \omega^2 r,
onde a_c é em \mathrm{m/s^2}.
Usando \omega^2 r com \omega=24\pi e r=0,20:
a_c = (24\pi)^2(0,20) = 576\pi^2(0,20) = 115{,}2\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}.
Agora numérico (lembre \pi^2\approx 9{,}8696):
a_c \approx 115{,}2\times 9{,}8696 = 1\,137{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
Em notação científica e com duas figuras significativas:
a_c \approx 1{,}14\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s^2}.
Se arredondarmos de forma compatível com as alternativas: a_c \approx 1{,}1\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Resumo dos valores calculados (com aproximações usadas nas alternativas):
  • distância por volta: 1{,}26\\ \mathrm{m};
  • velocidade (magnitude): 15{,}7\\ \mathrm{m/s} (aproximada para 15\\ \mathrm{m/s} nas alternativas);
  • aceleração (magnitude): 1{,}14\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s^2} (aproximada para 1{,}1\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s^2} nas alternativas).
A alternativa que corresponde a esses valores arredondados é a que apresenta 1{,}26\\ \mathrm{m};\\\ 15\\ \mathrm{m/s};\\\ 1{,}1\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

(b)

Exercícios relacionados