Dado que
lim x 2 f(x)=4 ; lim x 2 g(x)=-2 ; lim x 2 h(x)=0
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(d) lim x 2 3 f(x)g(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para resolver aqui que envolve funções e suas limitações quando se aproxima de 2. A matéria envolvida é o cálculo de limites, mais especificamente o limite de uma fração que tem funções no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos limites, que nos permitem calcular o limite de uma fração separadamente no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão que queremos encontrar o limite:
lim x 2 3 f(x)g(x)
Aqui, temos uma constante 3 multiplicando no numerador e no denominador. Segundo as propriedades dos limites, podemos separar esse limite em partes menores que são mais fáceis de calcular.

Passo 3

Vamos aplicar a propriedade que diz que o limite de uma constante multiplicando uma função é igual à constante multiplicando o limite da função. Então, temos:
lim x 2 3 f(x)g(x) = 3 cdot lim x 2 f(x)g(x)
Agora, precisamos encontrar o limite da fração quando se aproxima de 2.

Passo 4

Sabemos que:
lim x 2 f(x) = 4 e lim x 2 g(x) = -2
De acordo com a regra dos limites para quocientes, se os limites das funções no numerador e no denominador existirem e o limite do denominador não for zero, então o limite da fração é o quociente dos limites. Ou seja:
lim x 2 f(x)g(x) = lim x 2 f(x)lim x 2 g(x) = 4-2

Passo 5

Calculando o quociente:
4-2 = -2
Agora, voltando ao passo anterior onde tínhamos o 3 multiplicando esse resultado:
3 cdot (-2) = -6

Resposta

lim x 2 3 f(x)g(x) = -6

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