Sejam f, g: R R as funções dadas por
f(x)=lll 4 x-3 & se & x >= 0 x^2-3 x+2 & se & x<0 e g(x)=lll x+1 & se & x>2 1-x^2 & se & x <= 2
(b) Encontre uma expressão analítica para a composta g circ f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções, e , definidas de maneiras diferentes dependendo do valor de . O que a gente precisa fazer é encontrar a função composta , que significa aplicar primeiro e depois aplicar no resultado. Para isso, vamos precisar entender como cada função se comporta em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Ela é definida por partes:
  • Quando , .
  • Quando , .
Para compor , precisamos saber qual valor assume em cada intervalo de e então aplicar nesse resultado.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Ela também é definida por partes:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, dependendo do valor que der, vamos escolher qual parte de aplicar.

Passo 4

Vamos começar considerando o caso quando 4x - 3 > 2 implies 4x > 5 implies x > 54 :
  • Aqui, .
  • Precisamos ver se ou para saber qual parte de usar.
Vamos resolver :
Então, para , usamos .
Para , usamos .

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso quando x^2 - 3x + 2 > 2 implies x^2 - 3x > 0 implies x(x - 3) > 0 :
  • Aqui, .
  • Precisamos determinar se ou para escolher a parte de .
Vamos resolver :
Isso acontece quando ou . Mas como estamos considerando , sempre teremos nesse intervalo.
Então, para , usamos .

Resposta

A função composta (g circ f)(x) = 4x - 2 & se x > 54 1 - (4x - 3)^2 & se 0 <= x <= 54 x^2 - 3x + 3 & se x < 0 é dada por:

Exercícios relacionados