Sejam
as funções dadas por
(b) Encontre uma expressão analítica para a composta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções,
e
, definidas de maneiras diferentes dependendo do valor de
. O que a gente precisa fazer é encontrar a função composta
, que significa aplicar
primeiro e depois aplicar
no resultado. Para isso, vamos precisar entender como cada função se comporta em diferentes intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Ela é definida por partes:
- Quando
, . - Quando
, .
Para compor
, precisamos saber qual valor
assume em cada intervalo de
e então aplicar
nesse resultado.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Ela também é definida por partes:
- Quando
, . - Quando
, .
Então, dependendo do valor que
der, vamos escolher qual parte de
aplicar.
Passo 4
Vamos começar considerando o caso quando
:
- Aqui,
. - Precisamos ver se
ou para saber qual parte de usar.
Vamos resolver
:
Então, para
, usamos
.
Para
, usamos
.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso quando
:
- Aqui,
. - Precisamos determinar se
ou para escolher a parte de .
Vamos resolver
:
Isso acontece quando
ou
. Mas como estamos considerando
, sempre teremos
nesse intervalo.
Então, para
, usamos
.
Resposta
A função composta
é dada por: