Dado que
lim x 2 f(x)=4 ; lim x 2 g(x)=-2 ; lim x 2 h(x)=0
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(e) lim x 2 g(x) h(x)f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A gente tem três funções , e com seus limites quando se aproxima de 2. Nosso objetivo aqui é encontrar o limite de quando tende a 2. Para isso, vamos usar as propriedades dos limites e lembrar como lidar com operações de multiplicação e divisão de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se a gente tem o limite de um produto de funções, isso é igual ao produto dos limites, desde que todos os limites existam. Ou seja:
limx to a [g(x) cdot h(x)] = ( limx to a g(x) ) cdot ( limx to a h(x) )
No nosso caso, limx to 2 [g(x) cdot h(x)] = ( limx to 2 g(x) ) cdot ( limx to 2 h(x) ) , então:
limx to 2 [g(x) cdot h(x)] = (-2) cdot 0 = 0
Substituindo os valores que a gente tem:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para a divisão de limites, a gente pode dividir os limites se o limite do denominador for diferente de zero. A fórmula fica assim:
limx to a g(x)f(x) = limx to a g(x)limx to a f(x)
Mas atenção: isso só vale se .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
limx to 2 g(x) cdot h(x)f(x) = limx to 2 [g(x) cdot h(x)]limx to 2 f(x) = 04 = 0
Como o denominador é 4, que é diferente de zero, a divisão está válida.

Resposta

Então, o limite procurado é .

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