Sejam
e
conjuntos e
uma função. Sejam também
e
. Mostre que:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o inverso da imagem da interseção de dois conjuntos
e
através da função
é igual à interseção dos inversos das imagens de cada conjunto individualmente. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de funções e operações com conjuntos, especificamente sobre a imagem inversa de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Para qualquer conjunto
, o inverso da imagem de
por
é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento em
. Formalmente:
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a interseção
. Esse conjunto contém todos os elementos que estão simultaneamente em
e em
.
Então,
é o conjunto de todos os
tais que
está tanto em
quanto em
.
Passo 4
Vamos agora analisar o lado direito da igualdade:
. Isso significa que estamos pegando todos os elementos que estão no inverso da imagem de
e também no inverso da imagem de
. Ou seja, são os
que satisfazem:
Passo 5
Agora, vamos juntar as informações. Se
está em
, então
está em
, isto é,
está em
e em
. Isso significa que
estará tanto em
quanto em
, portanto, em
.
Passo 6
Da mesma forma, se
está em
, então
está em
e em
simultaneamente, ou seja,
. Logo,
está em
.
Resposta
Concluímos que: