Sejam X e Y conjuntos e f: X -> Y uma função. Sejam também A1, A2 subseteq X e B1, B2 ⊆ Y. Mostre que:
(e) f^(-1)(B1 ∩ B2) = f^(-1)(B1) ∩ f^(-1)(B2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o inverso da imagem da interseção de dois conjuntos B1 e B2 através da função f é igual à interseção dos inversos das imagens de cada conjunto individualmente. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de funções e operações com conjuntos, especificamente sobre a imagem inversa de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Para qualquer conjunto B ⊆ Y, o inverso da imagem de B por f é o conjunto de todos os elementos em X que são mapeados para algum elemento em B. Formalmente:

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a interseção . Esse conjunto contém todos os elementos que estão simultaneamente em B1 e em B2.
Então, é o conjunto de todos os x em X tais que f(x) está tanto em B1 quanto em B2.

Passo 4

Vamos agora analisar o lado direito da igualdade: . Isso significa que estamos pegando todos os elementos que estão no inverso da imagem de B1 e também no inverso da imagem de B2. Ou seja, são os x em X que satisfazem:

Passo 5

Agora, vamos juntar as informações. Se x está em , então f(x) está em , isto é, f(x) está em B1 e em B2. Isso significa que x estará tanto em quanto em , portanto, em .

Passo 6

Da mesma forma, se x está em , então f(x) está em B1 e em B2 simultaneamente, ou seja, . Logo, x está em .

Resposta

Concluímos que:

Exercícios relacionados