Dado que
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=0 \quad \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \quad \lim _{x \rightarrow a} h(x)=1 \quad \lim _{x \rightarrow a} p(x)=\infty \quad \lim _{x \rightarrow a} q(x)=\infty
quais dos limites a seguir apresentam indeterminações? Para aqueles que não possuem indeterminações, calcule o limite quando possível.
\lim _{x \rightarrow a} \frac{p(x)}{f(x)}

Passo 1

O enunciado dá os limites
\lim_{x\to a}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to a}p(x)=\infty
e pede para classificarmos e, se não for indeterminação, calcular
\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{f(x)}.
O conteúdo é reconhecer formas indeterminadas de limites e identificar quando a razão tende a uma infinidade.

Passo 2

Como
\lim_{x\to a}p(x)=\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a}f(x)=0,
a expressão assume a forma
\frac{\infty}{0}.
Essa forma não consta entre as indeterminações clássicas ( 0/0,\;\infty/\infty,\;0\cdot\infty,\;\infty-\infty,\;1^\infty,\;0^0,\;\infty^0). Logo, não há indeterminação.

Passo 3

Quando o numerador cresce sem limite e o denominador tende a zero, a razão diverge para infinito em módulo. O sinal depende do sinal de f(x) próximo de a:
– Se f(x)>0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{f(x)}=+\infty.
– Se f(x)<0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{f(x)}=-\infty.

Resposta

Não há indeterminação; \lim_{x\to a}\tfrac{p(x)}{f(x)} diverge para +\infty se f(x) for positivo em torno de a, ou para -\infty se f(x) for negativo em torno de a.

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