Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule \frac{d z}{d t} e \frac{d w}{d t} :
z=x^{2}+2 y^{2}, x=\operatorname{sen}(t), y=\cos (t)

Passo 1

O enunciado define uma função de duas variáveis
z = f(x,y) = x^{2} + 2\,y^{2}
com as parametrizações
x = \sin(t), \quad y = \cos(t),
e pede \tfrac{dz}{dt}. Ele também menciona uma função w=f(x,y,z), mas não fornece sua expressão, logo não é possível calcular \tfrac{dw}{dt} sem essa definição.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para z=f(x,y):
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Calculamos as derivadas parciais e as temporais:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 4y,
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\sin(t)\bigr) = \cos(t), \quad \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\cos(t)\bigr) = -\sin(t).
Substituindo,
\frac{dz}{dt} = 2x\cos(t) + 4y\bigl(-\sin(t)\bigr).
Agora usamos x=\sin(t) e y=\cos(t):
\frac{dz}{dt} = 2\sin(t)\cos(t) - 4\cos(t)\sin(t) = -2\,\sin(t)\cos(t).

Passo 3

Como não temos a expressão de w, não há como aplicar a regra da cadeia para obter \tfrac{dw}{dt}.

Resposta

\displaystyle \frac{dz}{dt} = -2\,\sin(t)\cos(t).
Não é possível calcular \displaystyle \frac{dw}{dt} pois a função w não foi definida.

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