Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4 \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2 \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
(f) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x) h(x)}{f(x)}

Passo 1

O enunciado dá os limites
\lim_{x\to2}f(x)=4,\quad \lim_{x\to2}g(x)=-2,\quad \lim_{x\to2}h(x)=0
e pede o valor de
\lim_{x\to2}\frac{g(x)\,h(x)}{f(x)}.
O conteúdo aqui é aplicação das propriedades de limite de produto e de quociente.

Passo 2

Antes de tudo, verificamos o denominador: como
\lim_{x\to2}f(x)=4\neq0,
podemos usar a regra do quociente, que diz que se \lim f(x)\neq0 então
\lim\frac{A(x)}{f(x)}=\frac{\lim A(x)}{\lim f(x)}.

Passo 3

Aplicamos também a regra do produto para o numerador:
\lim_{x\to2}\bigl[g(x)\,h(x)\bigr] =\Bigl(\lim_{x\to2}g(x)\Bigr)\,\Bigl(\lim_{x\to2}h(x)\Bigr) =(-2)\cdot0=0.

Passo 4

Agora juntamos as duas propriedades:
\lim_{x\to2}\frac{g(x)\,h(x)}{f(x)} =\frac{\lim_{x\to2}\bigl[g(x)\,h(x)\bigr]}{\lim_{x\to2}f(x)} =\frac{0}{4}=0.

Resposta

0

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