Exercício 3 Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f cujo limite quando x tende a 0 seja -\infty, ou seja,
\lim_{x\to0}f(x) = -\infty.
Isto significa que o eixo vertical x=0 deve ser uma assíntota vertical para baixo.

Passo 2

Uma escolha simples que faz isso é
f(x) = -\frac{1}{x^{2}}.
Essa função é definida para todo x\neq0 e tem comportamento infinito negativo ao se aproximar de 0.

Passo 3

Vamos verificar o limite: para x se aproximando de 0 pela direita x\to0^+ ou pela esquerda x\to0^-, temos
x^{2}\to0^{+} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}\to +\infty \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{x^{2}}\to -\infty.
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\lim_{x\to0} \bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr) = -\infty.

Passo 4

Características do gráfico de f(x)=-\tfrac1{x^{2}}:
  • Eixo vertical x=0 é assíntota vertical, pois f(x)\to -\infty.
  • Eixo horizontal y=0 é assíntota horizontal, pois \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0^{-}.
  • A curva tem dois ramos simétricos em relação ao eixo y, ambos sempre abaixo de y=0.
  • Ao se aproximar de x=0, cada ramo cai sem limite até -\infty.

Resposta

Um esboço do gráfico de
f(x) = -\frac{1}{x^{2}}
mostra dois ramos abaixo do eixo x, com assíntota vertical em x=0 (tendendo a -\infty) e assíntota horizontal em y=0.

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