Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule a integral.
\int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} \int_{0}^{3} \int_{r^{2}}^{9} r d z d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido dado pela integral em coordenadas cilíndricas
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_{0}^{3}\int_{r^{2}}^{9}r\,dz\,dr\,d\theta.
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas, envolvendo uma superfície parabólica z=r^{2} e o plano z=9, sobre a região radial 0\le r\le3 e angular \pi/2\le\theta\le3\pi/2.

Passo 2

Para esboçar o sólido, observe que em coordenadas cilíndricas temos
– no plano xy, a projeção é o semicírculo de raio 3 com \theta de \pi/2 a 3\pi/2, ou seja, a metade esquerda do disco x^2+y^2\le9;
– em z, vai de baixo para cima da superfície parabólica z=r^2 até o plano horizontal z=9.
Ou seja, é o “copo” formado pela parte do paraboloide z=x^2+y^2 abaixo de z=9, restrito a x\le0.

Passo 3

Calcule primeiro a integral interna em z:
\int_{r^2}^{9}r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{z=r^2}^{z=9} = r\bigl(9 - r^2\bigr).

Passo 4

Agora integre em r:
\int_{0}^{3}r\bigl(9-r^2\bigr)\,dr = \int_{0}^{3}\bigl(9r - r^3\bigr)\,dr = \Bigl[\tfrac{9}{2}r^2 - \tfrac{1}{4}r^4\Bigr]_{0}^{3} = \frac{9}{2}\cdot9 - \frac{1}{4}\cdot81 = \frac{81}{2} - \frac{81}{4} = \frac{81}{4}.

Passo 5

Por fim, integre em \theta de \pi/2 a 3\pi/2, cujo comprimento é \pi:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\frac{81}{4}\,d\theta = \frac{81}{4}\,\bigl(\!3\pi/2 - \pi/2\bigr) = \frac{81}{4}\,\pi.

Resposta

\frac{81\pi}{4}.

Exercícios relacionados