Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido dado pela integral em coordenadas cilíndricas
O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas, envolvendo uma superfície parabólica
e o plano
, sobre a região radial
e angular
.
Passo 2
Para esboçar o sólido, observe que em coordenadas cilíndricas temos
– no plano , a projeção é o semicírculo de raio
com
de
a
, ou seja, a metade esquerda do disco
;
– em , vai de baixo para cima da superfície parabólica
até o plano horizontal
.
Ou seja, é o “copo” formado pela parte do paraboloide abaixo de
, restrito a
.
– no plano
– em
Ou seja, é o “copo” formado pela parte do paraboloide
Passo 3
Calcule primeiro a integral interna em
:
Passo 4
Agora integre em
:
Passo 5
Por fim, integre em
de
a
, cujo comprimento é
: