Use transformada de Fourier para resolver a seguinte EDP.
Passo 1
O problema é a equação do calor unidimensional com coeficiente de difusão
:
com condição inicial
Vamos aplicar a transformada de Fourier em
, resolver a ODE resultante em
e depois inverter a transformada usando o núcleo fundamental (convolução com uma Gaussiana).
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em
Como
, a EDP vira
Passo 3
Essa é uma ODE simples em
:
Agora calculamos
Logo
Passo 4
A inversa da transformada nos dá
Reconhecemos que
que é o núcleo fundamental do calor para
. Assim
Passo 5
Para finalizar, dividimos a integral em
e
e usamos a integral de Gauss-exponencial que leva a funções de erro complementares
. O resultado é