Use transformada de Fourier para resolver a seguinte EDP.
\left\{\begin{array}{l} 4 u_{x x}=u_{t} \quad x \in \mathbb{R}, \quad t>0 \\\ u(x, 0)=e^{-2|x|} \end{array}\right.

Passo 1

O problema é a equação do calor unidimensional com coeficiente de difusão D=4:
u_t = 4\,u_{xx},\quad x\in\mathbb{R},\;t>0,
com condição inicial
u(x,0)=e^{-2|x|}.
Vamos aplicar a transformada de Fourier em x, resolver a ODE resultante em t e depois inverter a transformada usando o núcleo fundamental (convolução com uma Gaussiana).

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier em x
\widetilde u(k,t) =\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
Como \mathcal{F}\{u_{xx}\}=-k^2\widetilde u, a EDP vira
\partial_t\widetilde u(k,t) =4\,\mathcal{F}\{u_{xx}\} =-4\,k^2\,\widetilde u(k,t).

Passo 3

Essa é uma ODE simples em t:
\partial_t\widetilde u +4k^2\,\widetilde u=0 \quad\Longrightarrow\quad \widetilde u(k,t) =\widetilde u(k,0)\,e^{-4k^2 t}.
Agora calculamos
\widetilde u(k,0) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2|x|}\,e^{-ikx}\,dx =\frac{4}{k^2+4}.
Logo
\widetilde u(k,t) =\frac{4}{k^2+4}\;e^{-4k^2 t}.

Passo 4

A inversa da transformada nos dá
u(x,t) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{4}{k^2+4}\,e^{-4k^2 t}\,e^{ikx}\,dk.
Reconhecemos que
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-4k^2 t}e^{ik(x-y)}dk =\frac{1}{4\sqrt{\pi\,t}}\, \exp\!\Bigl(-\frac{(x-y)^2}{16t}\Bigr) \equiv G(x-y,t),
que é o núcleo fundamental do calor para D=4. Assim
u(x,t) =\int_{-\infty}^{\infty}G(x-y,t)\,e^{-2|y|}\,dy =\frac{1}{4\sqrt{\pi\,t}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\Bigl(-\frac{(x-y)^2}{16t}\Bigr)\,e^{-2|y|}\,dy.

Passo 5

Para finalizar, dividimos a integral em y<0 e y>0 e usamos a integral de Gauss-exponencial que leva a funções de erro complementares \erfc. O resultado é
u(x,t) =\frac12\, e^{16t+2x}\,\erfc\!\Bigl(\frac{x+16t}{4\sqrt{t}}\Bigr) +\frac12\, e^{16t-2x}\,\erfc\!\Bigl(\frac{16t-x}{4\sqrt{t}}\Bigr).

Resposta

u(x,t) =\frac12\,e^{16t+2x}\,\erfc\!\Bigl(\frac{x+16t}{4\sqrt{t}}\Bigr) \;+\; \frac12\,e^{16t-2x}\,\erfc\!\Bigl(\frac{16t-x}{4\sqrt{t}}\Bigr).

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