(1,5) Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4 \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2 \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
Encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique o porquê.
(e) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)}{h(x)}

Passo 1

O enunciado nos dá \lim_{x\to 2}f(x)=4, \lim_{x\to 2}g(x)=-2 e \lim_{x\to2}h(x)=0.
Pede-se
\lim_{x\to2}\frac{g(x)}{h(x)}.
Para isso, vamos usar a propriedade de limite de quociente e ver por que ela falha quando o denominador tende a zero.

Passo 2

A propriedade de quociente afirma que, se \lim_{x\to a}g(x)=G e \lim_{x\to a}h(x)=H com H\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{G}{H}.
Aqui temos G=-2 e H=0. Como H=0, não podemos usar essa propriedade.

Passo 3

Quando o numerador tende a uma constante não nula -2 e o denominador tende a zero, o valor da fração cresce sem limite em módulo. Assim, não há limite finito para
\lim_{x\to2}\frac{g(x)}{h(x)}.
Dependendo do sinal de h(x) próximo de 2, a expressão pode divergir para +\infty ou para -\infty.

Resposta

O limite não existe (diverge), pois o numerador tende a -2\neq0 e o denominador tende a 0.

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