Dado m=\lim _{x \rightarrow 6} \frac{\sqrt{2 x-4}-\sqrt{8}}{\sqrt{x-3}-\sqrt{3}} e n=\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{2 x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}. Determine \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
m = \lim_{x\to6} \frac{\sqrt{2x-4}-\sqrt{8}}{\sqrt{x-3}-\sqrt{3}} \quad\text{e}\quad n = \lim_{x\to4} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}
e em seguida determinar m\cdot n.
Ambos são limites do tipo 0/0 envolvendo raízes, então vamos usar a técnica de racionalização para simplificar cada um.

Passo 2

Calcular m por racionalização do numerador e do denominador:
m = \lim_{x\to6}\frac{\sqrt{2x-4}-\sqrt{8}}{\sqrt{x-3}-\sqrt{3}}
Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{2x-4}+\sqrt{8}:
m = \lim_{x\to6} \frac{(\sqrt{2x-4}-\sqrt{8})(\sqrt{2x-4}+\sqrt{8})} {(\sqrt{x-3}-\sqrt{3})(\sqrt{2x-4}+\sqrt{8})} = \lim_{x\to6} \frac{2x-4 - 8} {(\sqrt{x-3}-\sqrt{3})(\sqrt{2x-4}+\sqrt{8})} = \lim_{x\to6} \frac{2(x-6)} {(\sqrt{x-3}-\sqrt{3})(\sqrt{2x-4}+\sqrt{8})}.
Em seguida racionalizamos \sqrt{x-3}-\sqrt{3} usando \sqrt{x-3}-\sqrt{3} = \dfrac{(x-3)-3}{\sqrt{x-3}+\sqrt{3}} = \dfrac{x-6}{\sqrt{x-3}+\sqrt{3}}.
Logo
m = \lim_{x\to6} \frac{2(x-6)}{\displaystyle\frac{x-6}{\sqrt{x-3}+\sqrt{3}}\;(\sqrt{2x-4}+\sqrt{8})} = \lim_{x\to6} \frac{2\bigl(\sqrt{x-3}+\sqrt{3}\bigr)}{\sqrt{2x-4}+\sqrt{8}}.

Passo 3

Agora basta avaliar em x=6:
\sqrt{x-3}\bigl|_{x=6} = \sqrt{3}, \quad \sqrt{2x-4}\bigl|_{x=6} = \sqrt{8}.
Substituindo,
m = \frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{3})}{\sqrt{8}+\sqrt{8}} = \frac{2\cdot2\sqrt{3}}{2\sqrt{8}} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}.

Passo 4

Calcular n de forma análoga, racionalizando o numerador:
n = \lim_{x\to4} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} \;\xrightarrow{\times(\sqrt{2x+1}+3)}\; \lim_{x\to4} \frac{2x+1-9}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{2x+1}+3)} = \lim_{x\to4} \frac{2(x-4)}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{2x+1}+3)}.
Racionalizamos \sqrt{x-2}-\sqrt{2}=\frac{x-4}{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}, obtendo
n = \lim_{x\to4} \frac{2(x-4)}{\displaystyle\frac{x-4}{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}\;(\sqrt{2x+1}+3)} = \lim_{x\to4} \frac{2\bigl(\sqrt{x-2}+\sqrt{2}\bigr)}{\sqrt{2x+1}+3}.

Passo 5

Avaliando em x=4:
\sqrt{x-2}\bigl|_{x=4}=\sqrt{2}, \quad \sqrt{2x+1}\bigl|_{x=4}=\sqrt{9}=3,
n = \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{2})}{3+3} = \frac{2\cdot2\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 6

Multiplicamos os resultados:
m\cdot n = \sqrt{\frac{3}{2}}\;\times\;\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{3}\,\sqrt{2}}{3\,\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}

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