3 Questão

Mostre que não existe um campo vetorial \vec{G} tal que
\nabla \times \vec{G}=2 x \vec{i}+3 y z \vec{j}+x z^{2} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe campo vetorial \vec{G} cujo rotor seja
\nabla \times \vec{G}=2x\,\vec{i}+3yz\,\vec{j}+xz^{2}\,\vec{k}.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais especificamente a relação entre rotor e divergente.

Passo 2

Lembramos do fato fundamental de cálculo vetorial: para qualquer campo vetorial \vec{G} suficientemente suave vale
\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\vec{G}\bigr)=0.
Logo, se existisse \vec{G} tal que \nabla\times\vec{G}= \vec{F}, teríamos necessariamente
\nabla\cdot\vec{F}=0.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo dado \vec{F}=2x\,\vec{i}+3yz\,\vec{j}+xz^{2}\,\vec{k}. Temos
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(2x) +\frac{\partial}{\partial y}(3yz) +\frac{\partial}{\partial z}(xz^{2}) =2+3z+2xz.

Passo 4

O resultado \nabla\cdot\vec{F}=2+3z+2xz não é identicamente zero para todos os pontos (x,y,z). Isso contradiz a condição necessária \nabla\cdot(\nabla\times\vec{G})=0. Portanto, não pode existir \vec{G} tal que \nabla\times\vec{G}=\vec{F}.

Resposta

Não existe campo vetorial \vec{G}$ cujo rotor seja 2x\,\vec{i}+3yz\,\vec{j}+xz^{2}\,\vec{k}.

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