3 Questão
Mostre que não existe um campo vetorial
tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe campo vetorial
cujo rotor seja
O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais especificamente a relação entre rotor e divergente.
Passo 2
Lembramos do fato fundamental de cálculo vetorial: para qualquer campo vetorial
suficientemente suave vale
Logo, se existisse
tal que
, teríamos necessariamente
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo dado
. Temos
Passo 4
O resultado
não é identicamente zero para todos os pontos
. Isso contradiz a condição necessária
. Portanto, não pode existir
tal que
.
Resposta
Não existe campo vetorial
cujo rotor seja
.