Determine o conjunto Domínio das funções; represente o Domínio graficamente e determine o conjunto Imagem das funções:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}-y+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}-y+1\bigr)
e pede (a) o domínio, (b) sua representação gráfica e (c) a imagem. Vamos usar a propriedade de que o argumento do logaritmo natural deve ser estritamente positivo.

Passo 2

Para encontrar o domínio, impomos
x^{2}-y+1>0.
Isolando y, obtemos
-y>-x^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad y<x^{2}+1.
Logo o domínio é
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y<x^{2}+1\bigr\}.

Passo 3

Graficamente, a fronteira y=x^{2}+1 é uma parábola voltada para cima, com vértice em (0,1). O domínio D é toda a região do plano abaixo dessa parábola (sem incluir a própria curva), ou seja, o conjunto de pontos que ficam estritamente abaixo de y=x^{2}+1.

Passo 4

Para a imagem, note que, dentro de D, o argumento
A = x^{2}-y+1
varia em (0,\infty). De fato:
  • Se (x,y) se aproxima da curva y=x^{2}+1 por baixo, então A\to0^{+} e \ln A\to-\infty.
  • Se y\to-\infty para fixo x, então A\to+\infty e \ln A\to+\infty.
Portanto \ln A percorre todo \mathbb{R}.

Resposta

Domínio:
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y<x^{2}+1\bigr\},
região abaixo da parábola y=x^{2}+1 (sem incluí-la).
Imagem:
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,\infty).

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