Dado x \in \mathbb{R}, mostre que x \in \mathbb{R}^{+}se, e somente se, x>0. Isto é, \mathbb{R}^{+}=\{x \in \mathbb{R} \mid x>0\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos reais “positivos” \mathbb{R}^+ coincide exatamente com as soluções da desigualdade x>0. Para isso, usamos a definição de ordem no campo \mathbb{R}:
x>y\quad\text{se, e somente se},\quad x - y \in \mathbb{R}^+.
A partir dessa definição, vamos provar as duas implicações.

Passo 2

Suponha que x>0. Pela definição de >, temos
x-0 \in \mathbb{R}^+.
Como x-0 = x, conclui-se que x \in \mathbb{R}^+.

Passo 3

Agora suponha que x \in \mathbb{R}^+. Novamente, pela definição de >,
x-0 \in \mathbb{R}^+
é equivalente a x>0.
Logo, x>0.

Resposta

Como mostramos que x>0 implica x\in\mathbb{R}^+ e vice-versa, segue que
\mathbb{R}^+ \;=\;\{\,x\in\mathbb{R}\mid x>0\}.

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