Dado 0<x<1, use indução matemática para mostrar que x^{n}<x^{n-1} para n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução em n\in\mathbb{N} que, para um dado x satisfazendo
0 < x < 1,
vale
x^n < x^{n-1}.
O conteúdo envolvido é o princípio da indução matemática aplicado a uma desigualdade, usando o fato de que multiplicar por um número em (0,1) preserva e torna a desigualdade estrita.

Passo 2

Base da indução n=1: devemos verificar que
x^1 < x^{1-1}.
Como x^{1-1}=x^0=1 e foi dado x<1, segue imediatamente que
x^1 = x < 1 = x^0,
portanto a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 3

Passo indutivo—hipótese de indução: suponha que, para um certo k\ge1, já tenhamos
x^k < x^{k-1}.

Passo 4

Passo indutivo—conclusão para n=k+1: multiplicamos a desigualdade da hipótese por x. Como 0<x<1, a multiplicação por x preserva e mantém estrita a desigualdade, de modo que
x\cdot x^k < x\cdot x^{k-1} \quad\Longrightarrow\quad x^{k+1} < x^k.
Isso mostra que, se a propriedade vale para n=k, então vale para n=k+1.

Resposta

Por indução matemática, concluímos que, para todo n\in\mathbb{N} e todo x com 0<x<1,
x^n < x^{n-1}.

Exercícios relacionados