Dado
, use indução matemática para mostrar que
para
.
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução em
que, para um dado
satisfazendo
vale
O conteúdo envolvido é o princípio da indução matemática aplicado a uma desigualdade, usando o fato de que multiplicar por um número em
preserva e torna a desigualdade estrita.
Passo 2
Base da indução
: devemos verificar que
Como
e foi dado
, segue imediatamente que
portanto a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo—hipótese de indução: suponha que, para um certo
, já tenhamos
Passo 4
Passo indutivo—conclusão para
: multiplicamos a desigualdade da hipótese por
. Como
, a multiplicação por
preserva e mantém estrita a desigualdade, de modo que
Isso mostra que, se a propriedade vale para
, então vale para
.
Resposta
Por indução matemática, concluímos que, para todo
e todo
com
,