Dado
, use indução matemática para mostrar que
para
.
Passo 1
Resumindo, queremos provar por indução em
que, para um dado
, vale
usando a propriedade de que, ao multiplicar uma desigualdade por um número maior que
, a direção da desigualdade se mantém. Esse é o conteúdo principal: princípio da indução matemática e monotonicidade da função potência para base maior que 1.
Passo 2
Base da indução
:
Temos
Temos
e
Como
, segue
. Logo,
A base está verificada.
Passo 3
Passo indutivo – hipótese de indução:
Suponha que, para algum , já seja verdade que
Suponha que, para algum
Passo 4
Passo indutivo – conclusão para
:
Multiplicando os dois lados da hipótese de indução por , que é maior que 1, obtemos
Multiplicando os dois lados da hipótese de indução por
ou seja
que é exatamente o caso
. Assim, a propriedade se propaga de
para
.
Resposta
Concluímos por indução que, para todo
e todo
, vale