Dado x>1, use indução matemática para mostrar que x^{n-1}<x^{n} para n \in \mathbb{N}.

Passo 1

Resumindo, queremos provar por indução em n que, para um dado x>1, vale
x^{n-1} < x^n,
usando a propriedade de que, ao multiplicar uma desigualdade por um número maior que 1, a direção da desigualdade se mantém. Esse é o conteúdo principal: princípio da indução matemática e monotonicidade da função potência para base maior que 1.

Passo 2

Base da indução n=1:
Temos
x^{1-1}=x^0=1
e
x^1 = x.
Como x>1, segue 1 < x. Logo,
x^{0} < x^{1}.
A base está verificada.

Passo 3

Passo indutivo – hipótese de indução:
Suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, já seja verdade que
x^{k-1} < x^k.

Passo 4

Passo indutivo – conclusão para n=k+1:
Multiplicando os dois lados da hipótese de indução por x, que é maior que 1, obtemos
x\cdot x^{k-1} < x\cdot x^k
ou seja
x^k < x^{k+1},
que é exatamente o caso n=k+1. Assim, a propriedade se propaga de k para k+1.

Resposta

Concluímos por indução que, para todo n\in\mathbb{N} e todo x>1, vale
x^{n-1} < x^n.

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