Dado
, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série infinita
onde .
O conteúdo principal é usar decomposição em frações parciais e série telescópica, reconhecendo depois a soma harmônica dos primeiros termos.
onde
O conteúdo principal é usar decomposição em frações parciais e série telescópica, reconhecendo depois a soma harmônica dos
Passo 2
Decompomos cada termo em frações parciais. Queremos números
Multiplicando por
obtém-se
Para isso valer para todo
, igualamos coeficientes:
Da segunda equação vem
. Assim
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Essa soma é telescópica, pois ao expandir aparecem termos positivos
que se cancelam com termos negativos de índices deslocados:
Passo 4
Escrevendo
, temos
Mas
quando
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