Dado p \in \mathbb{N}, prove que \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+p)}=\frac{1}{p}\left(1+\ldots+\frac{1}{p}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+p)}
onde p\in\mathbb{N}.
O conteúdo principal é usar decomposição em frações parciais e série telescópica, reconhecendo depois a soma harmônica dos p primeiros termos.

Passo 2

Decompomos cada termo em frações parciais. Queremos números A,B\) tais que \[\frac{1}{n(n+p)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+p}.
Multiplicando por n(n+p) obtém-se
1 = A(n+p) + Bn = (A+B)\,n + A\,p.
Para isso valer para todo n, igualamos coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\ A\,p = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem A = \tfrac{1}{p}\] e, então, \(B = -\tfrac{1}{p}. Assim
\frac{1}{n(n+p)} =\frac{1}{p}\,\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}\Bigr).

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+p)} =\frac{1}{p}\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}\Bigr).
Essa soma é telescópica, pois ao expandir aparecem termos positivos \tfrac1n que se cancelam com termos negativos de índices deslocados:
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}\Bigr) =\Bigl(1+\frac12+\cdots+\frac1N\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{1+p}+\frac{1}{2+p}+\cdots+\frac{1}{N+p}\Bigr).

Passo 4

Escrevendo H_M=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1M, temos
S_N=\frac{1}{p}\bigl(H_N - (H_{N+p}-H_p)\bigr) =\frac{1}{p}\bigl(H_p + H_N - H_{N+p}\bigr).
Mas \displaystyle H_{N+p}-H_N=\frac{1}{N+1}+\cdots+\frac{1}{N+p}\to0 quando N\to+\infty. Logo
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+p)} =\lim_{N\to\infty}S_N =\frac{1}{p}\,H_p =\frac{1}{p}\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k}.

Resposta

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+p)} =\frac{1}{p}\Bigl(1+\frac12+\cdots+\frac1p\Bigr).

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