Dado uma número real r tal que |r|<1, mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} converge e determine a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um real \,r com \lvert r\rvert<1, a série
\sum_{n=1}^{\infty} n\,r^{n}
converge e para determinar sua soma.
O conteúdo principal envolve critérios de convergência de séries (no caso, o critério da razão) e técnicas de soma de séries de potências, usando a série geométrica e sua diferenciação.
Passo 2
Para provar a convergência, aplicamos o critério da razão à série de termos a_{n}=n\,r^{n}. Calculamos