Dado uma número real r tal que |r|<1, mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} converge e determine a sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um real \,r com \lvert r\rvert<1, a série
\sum_{n=1}^{\infty} n\,r^{n}
converge e para determinar sua soma.
O conteúdo principal envolve critérios de convergência de séries (no caso, o critério da razão) e técnicas de soma de séries de potências, usando a série geométrica e sua diferenciação.

Passo 2

Para provar a convergência, aplicamos o critério da razão à série de termos a_{n}=n\,r^{n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\,\lvert r\rvert^{\,n+1}}{n\,\lvert r\rvert^{\,n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,\lvert r\rvert =\lvert r\rvert.
Como \lvert r\rvert<1, o limite é menor que 1 e, pelo critério da razão, a série converge absolutamente.

Passo 3

Para encontrar a soma, começamos com a série geométrica básica para \lvert r\rvert<1:
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n} =\frac{r}{1-r}.
Definimos
f(r)=\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.

Passo 4

Como a convergência é uniforme em qualquer compacto dentro de \lvert r\rvert<1, podemos diferenciar termo a termo:
f'(r) =\sum_{n=1}^{\infty}n\,r^{\,n-1} =\frac{d}{dr}\Bigl(\frac{r}{1-r}\Bigr) =\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}n\,r^{n} =r\,f'(r) =\frac{r}{(1-r)^{2}}.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}n\,r^{n} converge absolutamente para \lvert r\rvert<1 e
\sum_{n=1}^{\infty}n\,r^{n} =\frac{r}{(1-r)^{2}}.

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