Sejam \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} séries numéricas e c \in \mathbb{R} uma constante dadas arbitrariamente. Prove as seguintes afirmações:
(a) Se \left(s_{n}\right),\left(t_{n}\right),\left(u_{n}\right) e \left(v_{n}\right) são as sequências de reduzidas das séries \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}, \sum_{n=1}^{+\infty} c a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right), respectivamente, então
u_{n}=c s_{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}
e
v_{n}=s_{n}+t_{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}
(b) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} são convergentes, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(c a_{n}+b_{n}\right) é convergente e \sum_{n=1}^{+\infty}\left(c a_{n}+b_{n}\right)= c \cdot S+T, onde S=\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e T=\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}.

Passo 1

O enunciado trabalha com as sequências de somas parciais (ou reduzidas) de três séries:
s_n = \sum_{k=1}^n a_k,\quad t_n = \sum_{k=1}^n b_k,\quad u_n = \sum_{k=1}^n c\,a_k,\quad v_n = \sum_{k=1}^n\bigl(a_k+b_k\bigr).
O objetivo de (a) é expressar u_n e v_n em função de s_n e t_n. Em (b) usaremos essas expressões e o fato de que \lim_{n\to\infty}s_n=S e \lim_{n\to\infty}t_n=T, para concluir sobre a convergência de \sum(ca_n+b_n) e seu valor.

Passo 2

Provar que u_n = c\,s_n. Pela definição de soma finita,
u_n = \sum_{k=1}^n c\,a_k.
Como c é constante, podemos fatorar:
u_n = c\sum_{k=1}^n a_k = c\,s_n.
Isso vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Provar que v_n = s_n + t_n. Usando a definição,
v_n = \sum_{k=1}^n\bigl(a_k + b_k\bigr).
Pela propriedade distributiva da soma de índices finitos,
v_n = \sum_{k=1}^n a_k \;+\;\sum_{k=1}^n b_k = s_n + t_n.
Isso vale para todo n.

Passo 4

Provar (b): suponha que \sum a_n e \sum b_n convergem, ou seja \lim_{n\to\infty}s_n = S e \lim_{n\to\infty}t_n = T. Definamos a série
\sum_{n=1}^\infty (c\,a_n + b_n).
Seus n-ésimos parciais são
w_n = \sum_{k=1}^n \bigl(c\,a_k + b_k\bigr).
Mas por linearidade (Passos 2 e 3),
w_n = \sum_{k=1}^n c\,a_k + \sum_{k=1}^n b_k = u_n + t_n = c\,s_n + t_n.
Como s_n\to S e t_n\to T, pelas propriedades de limites,
w_n = c\,s_n + t_n \;\longrightarrow\; c\,S + T.
Logo \sum(ca_n+b_n) converge e
\sum_{n=1}^\infty\bigl(c\,a_n + b_n\bigr) = c\,S + T.

Resposta

(a) u_n = c\,s_n e v_n = s_n + t_n para todo n.
(b) \sum_{n=1}^\infty(c\,a_n+b_n) converge e
\sum_{n=1}^\infty\bigl(c\,a_n+b_n\bigr) = c\,S + T.

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