Sejam
e
séries numéricas e
uma constante dadas arbitrariamente. Prove as seguintes afirmações:
(a) Se
e
são as sequências de reduzidas das séries
e
, respectivamente, então
e
(b) Se
e
são convergentes, então
é convergente e
, onde
e
.
(a) Se
Passo 1
O enunciado trabalha com as sequências de somas parciais (ou reduzidas) de três séries:
O objetivo de (a) é expressar
e
em função de
e
. Em (b) usaremos essas expressões e o fato de que
e
, para concluir sobre a convergência de
e seu valor.
Passo 2
Provar que
. Pela definição de soma finita,
Como
é constante, podemos fatorar:
Isso vale para todo
.
Passo 3
Provar que
. Usando a definição,
Pela propriedade distributiva da soma de índices finitos,
Isso vale para todo
.
Passo 4
Provar (b): suponha que
e
convergem, ou seja
e
. Definamos a série
Seus
-ésimos parciais são
Mas por linearidade (Passos 2 e 3),
Como
e
, pelas propriedades de limites,
Logo
converge e
Resposta
(a)
e
para todo
.
(b) converge e
(b)