Dados x_{1}=(1,1,1) e x_{3}=(3,-1,4) :
(a) x_{1}, x_{2} gera R^{3} ? Justifique
(b) Encontre um terceiro vetor

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
x_{1} = (1,1,1)
x_{3} = (3,-1,4)
e pede:
(a) Os vetores x_{1} e x_{3} geram \mathbb{R}^3? Justifique.
(b) Encontre um terceiro vetor x_{2} tal que \{x_{1},x_{2},x_{3}\} gere \mathbb{R}^3.
O conteúdo aqui é geração de espaço vetorial e independência linear. Vamos usar que um conjunto gera \mathbb{R}^3 se e somente se tem três vetores linearmente independentes, e que dois vetores só podem gerar um subespaço de dimensão no máximo 2.

Passo 2

Para (a), note que qualquer combinação linear de x_{1} e x_{3} está em um subespaço de dimensão <=2. Como \dim(\mathbb{R}^3)=3, não basta termos apenas dois vetores para gerar todo o espaço. Logo, os vetores x_{1} e x_{3} não geram \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para (b), queremos um vetor x_{2} que não esteja no plano gerado por x_{1} e x_{3}. Uma forma prática é escolher x_{2} e verificar que
\det\bigl[\,x_{1}\;\;x_{3}\;\;x_{2}\bigr]\neq 0,
pois determinante não nulo garante independência linear e, com três vetores em \mathbb{R}^3, gera todo o espaço.

Passo 4

Escolhendo por exemplo
x_{2} = (0,0,1),
montamos a matriz cujas colunas são x_{1},x_{3},x_{2}:
M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante:
\det M = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[6pt]4 & 1\end{pmatrix} - 3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt]1 & 1\end{pmatrix} + 0 = 1\cdot(-1\cdot1 - 0\cdot4) - 3\cdot(1\cdot1 - 0\cdot1) = -1 - 3 = -4 \neq 0.
Como \det M\neq0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, \{x_{1},x_{2},x_{3}\} gera \mathbb{R}^3.]

Resposta

(a) Não, pois dois vetores só geram um subespaço de dimensão <=2 em \mathbb{R}^3.
(b) Um possível vetor é x_{2}=(0,0,1).

Exercícios relacionados