Dados x_{1}=(1,1,1) e x_{3}=(3,-1,4) :
(a) x_{1}, x_{2} gera R^{3} ? Justifique
(b) Encontre um terceiro vetor
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
x_{1} = (1,1,1)
x_{3} = (3,-1,4)
e pede:
(a) Os vetores x_{1} e x_{3} geram \mathbb{R}^3? Justifique.
(b) Encontre um terceiro vetor x_{2} tal que \{x_{1},x_{2},x_{3}\} gere \mathbb{R}^3.
O conteúdo aqui é geração de espaço vetorial e independência linear. Vamos usar que um conjunto gera \mathbb{R}^3 se e somente se tem três vetores linearmente independentes, e que dois vetores só podem gerar um subespaço de dimensão no máximo 2.
Passo 2
Para (a), note que qualquer combinação linear de x_{1} e x_{3} está em um subespaço de dimensão <=2. Como \dim(\mathbb{R}^3)=3, não basta termos apenas dois vetores para gerar todo o espaço. Logo, os vetores x_{1} e x_{3} não geram \mathbb{R}^3.
Passo 3
Para (b), queremos um vetor x_{2} que não esteja no plano gerado por x_{1} e x_{3}. Uma forma prática é escolher x_{2} e verificar que
\det\bigl[\,x_{1}\;\;x_{3}\;\;x_{2}\bigr]\neq 0,
pois determinante não nulo garante independência linear e, com três vetores em \mathbb{R}^3, gera todo o espaço.
Passo 4
Escolhendo por exemplo
x_{2} = (0,0,1),
montamos a matriz cujas colunas são x_{1},x_{3},x_{2}: