Dado
o espaço vetorial das matrizes
sobre
e seja
uma matriz fixa em
. Se
, prove que
é uma transformação linear de
em
. Determine a imagem e o posto de
.
Passo 1
O enunciado define um operador linear T em Mₙ(K) por T(A)=A
B−B
A. Precisamos mostrar que T é de fato linear, encontrar seu núcleo (os A que comutam com B), descrever sua imagem (os comutadores de B) e usar posto-nulidade para achar o posto.
B−B
A. Precisamos mostrar que T é de fato linear, encontrar seu núcleo (os A que comutam com B), descrever sua imagem (os comutadores de B) e usar posto-nulidade para achar o posto.
Passo 2
Para provar a linearidade, note que para quaisquer A,C∈Mₙ(K) e α∈K valem as propriedades: T(A+C)=(A+C)B−B(A+C)=AB+CB−BA−BC=T(A)+T© e T(αA)=αAB−αBA=αT(A). Assim T preserva soma e multiplicação escalar.
Passo 3
O núcleo de T é o conjunto ker
T={A∈Mₙ(K):T(A)=0}={A:AB−BA=0}, ou seja, ker
T={A:A
B=B
A}. Esse é o espaço chamado centralizador de B em Mₙ(K).
T={A∈Mₙ(K):T(A)=0}={A:AB−BA=0}, ou seja, ker
T={A:A
B=B
A}. Esse é o espaço chamado centralizador de B em Mₙ(K).
Passo 4
A imagem de T é Im
T={T(A):A∈Mₙ(K)}={A
B−B
A: A∈Mₙ(K)}, o subespaço gerado pelos comutadores com B. Note ainda que tr(A
B−B
A)=tr(A
B)−tr(B
A)=0, então Im
T⊆{X:tr(X)=0}. Mais precisamente, Im
T é o complementar ortogonal do centralizador de B para a forma bilinear (X,Y)↦tr(X
Y).
T={T(A):A∈Mₙ(K)}={A
B−B
A: A∈Mₙ(K)}, o subespaço gerado pelos comutadores com B. Note ainda que tr(A
B−B
A)=tr(A
B)−tr(B
A)=0, então Im
T⊆{X:tr(X)=0}. Mais precisamente, Im
T é o complementar ortogonal do centralizador de B para a forma bilinear (X,Y)↦tr(X
Y).
Passo 5
Pela dimensão de espaço vetorial temos dim
Im
T+dim
ker
T=n². Logo o posto de T é posto(T)=dim
Im
T=n²−dim
ker
T=n²−dim{A:AB=BA}. Se B tiver monômio de Jordan com blocos de tamanhos m_{λi}, então dim{A:AB=BA}=∑_λ∑_{i,j}min(m_{λi},m_{λj}).
Im
T+dim
ker
T=n². Logo o posto de T é posto(T)=dim
Im
T=n²−dim
ker
T=n²−dim{A:AB=BA}. Se B tiver monômio de Jordan com blocos de tamanhos m_{λi}, então dim{A:AB=BA}=∑_λ∑_{i,j}min(m_{λi},m_{λj}).
Resposta
T é uma transformação linear em Mₙ(K). Im T é o subespaço {A B−B A: A∈Mₙ(K)} (os comutadores de B) e posto(T)=n²−dim{A∈Mₙ(K):AB=BA} (ou seja, n² menos a dimensão do centralizador de B).