Responda se o sistema abaixo é compatível, incompatível, determinado ou indeterminado. A seguir resolva o sistema.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um sistema linear de três equações com três incógnitas x,y,z que depende do parâmetro k. O conteúdo que vamos usar é teoria de sistemas lineares, determinante da matriz dos coeficientes para decidir compatibilidade e, se for o caso, eliminação para obter a solução.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b:
A=k & -1 & k 1 & 0 & k k & k & 0, b=k32
Calculamos o determinante de A:
det(A)=-k^3
Passo 3
Analisamos compatibilidade a partir de det(A):
Se kneq0, então det(A)neq0 e o sistema é compatível determinado (solução única).
Se k=0, então det(A)=0 e precisamos verificar consistência. Substituindo k=0 nas equações:
-y=0 dá y=0.
x=3.
0=2, impossível.
Logo para k=0 o sistema é incompatível.
Passo 4
Para kneq0, resolvemos por eliminação: da segunda equação temos
x+ k z=3implies x=3-kz
Substituindo em k x -y +k z=k dá
-y= k -3k +k^2z -kz = -2k +z(k^2-k)
ou
y=2k -z(k^2-k)
Da terceira equação k x+k y=2 substituindo x=3-kz obtemos também uma expressão para y. Igualando as duas expressões de y e resolvendo, chegamos a
z=2k^2+3k-2k^3
Passo 5
Finalmente, substituindo z em x=3-kz e em y=2k -z(k^2-k), encontramos
O sistema é incompatível para k=0 e compatível determinado (solução única) para k\neq0, com
x=\frac{k2-3k+2}{k2},
y=\frac{-k2+5k-2}{k2},
z=\frac{2k2+3k-2}{k3}
quando k\neq0.