Resolva o sistema:
2 x-y-z+3 t & =1 x-z & =0 -x+2 y+z-t & =1 2 x-y+2 z-t & =-2
pela regra de Cramer e também por escalonamento (escalonamento direto do sistema ou da matriz aumentada).

Passo 1

Temos um sistema de 4 equações lineares em 4 incógnitas. O conteúdo aqui é resolver sistemas usando a regra de Cramer (que exige determinantes) e escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e depois os determinantes das matrizes com colunas trocadas, e ainda montar a matriz aumentada para fazer o escalonamento.

Passo 2

Vamos chamar a matriz de coeficientes de A e o vetor de termos independentes de b:
A =
[ 2 -1 -1 3 ]
[ 1 0 -1 0 ]
[-1 2 1 -1]
[ 2 -1 2 -1], b = [1, 0, 1, -2]^T.
Para usar Cramer precisamos de det(A). Vamos trocar a linha 1 com a linha 2 (troca muda o sinal do determinante) e eliminar embaixo do pivô 1:
Após troca e eliminação obtemos uma forma triangular onde o subdeterminante 3×3 vale 23.
Logo det(A) = -23 (é diferente de zero, existe solução única).

Passo 3

Para achar det(A_x) (onde substituímos a coluna de x por b) montamos A_x =
[ 1 -1 -1 3 ]
[ 0 0 -1 0 ]
[ 1 2 1 -1]
[-2 -1 2 -1].
Expandindo pela linha 2 (único -1 na coluna 3) e calculando o 3×3 menor obtemos det(A_x)=3.
Então x = det(A_x)/det(A) = 3/(-23) = -3/23.

Passo 4

Para det(A_y) substituímos a coluna de y por b e obtemos
A_y = [ 2 1 -1 3 ]
[ 1 0 -1 0 ]
[-1 1 1 -1]
[ 2 -2 2 -1].
Após troca de linhas e eliminação vemos que o 3×3 menor vale 19, e houve uma troca de linhas, então det(A_y)= -19.
Logo y = det(A_y)/det(A) = (-19)/(-23) = 19/23.

Passo 5

Para det(A_z) substituímos a coluna de z por b em
A_z = [ 2 -1 1 3 ]
[ 1 0 0 0 ]
[-1 2 1 -1]
[ 2 -1 -2 -1].
Fazendo eliminação semelhante chegamos a det(A_z)=3.
Logo z = 3/(-23) = -3/23.

Passo 6

Para det(A_t) substituímos a coluna de t por b em
A_t = [ 2 -1 -1 1 ]
[ 1 0 -1 0 ]
[-1 2 1 1]
[ 2 -1 2 -2].
Após troca de linhas e redução triangular o 3×3 menor vale 15 e há mudança de sinal por troca, então det(A_t)= -15.
Logo t = (-15)/(-23) = 15/23.

Passo 7

Reunindo pelo método de Cramer temos
x = -3/23, y = 19/23, z = -3/23, t = 15/23.

Passo 8

Agora escalonamento: montamos a matriz aumentada [A|b]
[2 -1 -1 3 | 1]
[1 0 -1 0 | 0]
[-1 2 1 -1 | 1]
[2 -1 2 -1 |-2].
Trocamos linha 1 com linha 2 para ter pivô 1, e então zeramos abaixo por combinações lineares. Continuamos eliminando até chegar a uma forma triangular superior.
Depois fazemos substituição regressiva: obtemos t = 15/23, z = -3/23, y = 19/23, x = -3/23, mesmo resultado da regra de Cramer.

Resposta

x = -3/23, y = 19/23, z = -3/23, t = 15/23

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