Resolva o sistema:
x+y+z+t & =1 2 x-y+z & =2 -x+y-z-t & =0 2 x+2 z+t & =-1
pela regra de Cramer e também por escalonamento (escalonamento direto do sistema ou da matriz aumentada). Resposta: (4,1 / 2,-11 / 2,2).

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o sistema linear de 4 equações com 4 incógnitas pelas duas técnicas clássicas: a regra de Cramer e o escalonamento (eliminação de Gauss). O conteúdo envolve sistemas lineares, determinantes e operações elementares de linha.

Passo 2

Pela regra de Cramer montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 & -1 2 & 0 & 2 & 1 , b = 1 2 0 -1
Precisamos primeiro calcular det A. Fazendo expansão por cofactores na primeira linha, chega-se a
det A = -2

Passo 3

Em seguida substituímos a coluna de cada incógnita por b e calculamos os determinantes:
det Ax = -8, det Ay = -1, det Az = 11, det At = -4
Então, pelas fórmulas de Cramer,
x = det Axdet A = 4, y = det Aydet A = 12, z = det Azdet A = -112, t = det Atdet A = 2

Passo 4

Agora resolvemos o mesmo sistema por escalonamento. Começamos pela matriz aumentada:
l[,Amid br]= 1 & 1 & 1 & 1 &mid& 1 2 & -1 & 1 & 0 &mid& 2 -1 & 1 & -1 & -1 &mid& 0 2 & 0 & 2 & 1 &mid& -1
Zeramos os elementos abaixo de a11=1 usando operações em cada linha:
R2 R2-2R1, R3 R3+R1, R4 R4-2R1
resultando em
1 & 1 & 1 & 1 &mid& 1 0 & -3 & -1 & -2 &mid& 0 0 & 2 & 0 & 0 &mid& 1 0 & -2 & 0 & -1 &mid& -3

Passo 5

Prosseguimos pivoteando na segunda coluna. Primeiro normalizamos R2 dividindo por -3) e então eliminamos acima e abaixo do novo pivô:
R2 -tfrac13R2 ,, R1 R1-R2 ,; R3 R3-2R2 ,; R4 R4+2R2
Depois ajustamos a terceira coluna e enfim a quarta, até chegar na forma reduzida: cada linha tem um pivô 1 e zeros nas outras entradas da coluna. O resultado final do escalonamento reduzido é
1 & 0 & 0 & 0 &mid& 4 0 & 1 & 0 & 0 &mid& tfrac12 0 & 0 & 1 & 0 &mid& -tfrac112 0 & 0 & 0 & 1 &mid& 2

Passo 6

Da forma reduzida de Gauss lemos diretamente
x=4, y=tfrac12, z=-tfrac112, t=2 Essa solução coincide com a obtida via regra de Cramer.

Resposta

(x,y,z,t) = \bigl(4,\tfrac12,-\tfrac{11}2,2\bigr)

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