A matriz
A=[ccc 1 & 0 & 0 3 & -1 & 0 1 & -5 & -2 ] é diagonalizável? justifique a sua resposta éá

Passo 1

Então, temos a seguinte matriz:
A=[ccc 1 & 0 & 0 3 & -1 & 0 1 & -5 & -2 ]
A questão pede para saber se essa matriz é diagonalizável. Vamos trabalhar com o conteúdo de diagonalização de matrizes, que envolve encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores da matriz e verificar se existem vetores próprios suficientes para diagonalizá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Calculando A - lambda I :
A - lambda I = [ccc 1 - lambda & 0 & 0 3 & -1 - lambda & 0 1 & -5 & -2 - lambda ]

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det(cc -1 - lambda & 0 -5 & -2 - lambda ) - 0 + 0

Passo 5

Calculando o determinante da matriz 2x2:
det(cc -1 - lambda & 0 -5 & -2 - lambda ) = (-1 - lambda)(-2 - lambda) - (0)(-5) = (lambda + 1)(lambda + 2)

Passo 6

Substituindo de volta na equação do determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda + 1)(lambda + 2)
Igualando a zero:
(1 - lambda)(lambda + 1)(lambda + 2) = 0

Passo 7

Encontramos os autovalores resolvendo a equação acima:
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1 lambda + 1 = 0 Rightarrow lambda = -1 lambda + 2 = 0 Rightarrow lambda = -2
Então, os autovalores são lambda1 = 1 , lambda2 = -1 e lambda3 = -2 .

Passo 8

Agora, para a matriz ser diagonalizável, precisamos que a soma das multiplicidades geométricas (dimensões dos espaços próprios) seja igual à dimensão da matriz, ou seja, 3. Vamos verificar cada autovalor.

Passo 9

Para lambda = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 :
[ccc 0 & 0 & 0 3 & -2 & 0 1 & -5 & -3 ] v = 0
Da segunda linha: 3v1 - 2v2 = 0 Rightarrow v1 = 23v2
Da terceira linha: v1 - 5v2 - 3v3 = 0 . Substituindo v1 :
23v2 - 5v2 - 3v3 = 0 Rightarrow -133v2 - 3v3 = 0 Rightarrow v3 = -139v2
Então, os vetores próprios correspondentes são múltiplos de:
v = [c 23 1 -139 ]
Isso mostra que a multiplicidade geométrica de lambda = 1 é 1.

Passo 10

Para lambda = -1 :
Resolvemos (A + I)v = 0 :
[ccc 2 & 0 & 0 3 & 0 & 0 1 & -5 & -1 ] v = 0
Da primeira linha: 2v1 = 0 Rightarrow v1 = 0
Da segunda linha: 3v1 = 0 Rightarrow v1 = 0 (já sabemos)
Da terceira linha: -5v2 - v3 = 0 Rightarrow v3 = -5v2
Então, os vetores próprios correspondentes são múltiplos de:
v = [c 0 1 -5 ]
Isso mostra que a multiplicidade geométrica de lambda = -1 é 1.

Passo 11

Para lambda = -2 :
Resolvemos (A + 2I)v = 0 :
[ccc 3 & 0 & 0 3 & 1 & 0 1 & -5 & 0 ] v = 0
Da primeira linha: 3v1 = 0 Rightarrow v1 = 0
Da segunda linha: 3v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = 0
Da terceira linha: -5v2 = 0 Rightarrow v2 = 0 (já sabemos)
Isso implica que v3 é livre, então os vetores próprios correspondentes são múltiplos de:
v = [c 0 0 1 ]
Isso mostra que a multiplicidade geométrica de lambda = -2 é 1.

Passo 12

Agora, somando as multiplicidades geométricas:
1 (lambda = 1) + 1 (lambda = -1) + 1 (lambda = -2) = 3
Como a soma das multiplicidades geométricas é igual à dimensão da matriz (3), concluímos que a matriz é diagonalizável.

Resposta

Sim, a matriz A é diagonalizável.

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