Encontre um operador T: R^3 R^3, de modo que
S3=>=r(1,0,0), ker(T)=>=r(0,1,0) e T(0,0,1)=(2,-1,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um operador T: R^3 R^3 com certas propriedades. Especificamente, temos que:
  • S3 = >=r(1,0,0) : Isso significa que a imagem de T é gerada pelo vetor (1,0,0) .
  • ker(T) = >=r(0,1,0) : Isso indica que o núcleo de T é gerado pelo vetor (0,1,0) .
  • T(0,0,1) = (2,-1,3) : E aqui, a aplicação de T ao vetor (0,0,1) resulta no vetor (2,-1,3) .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, imagem e núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada uma dessas condições.
  • Imagem de T ( Im(T) ): É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor em R^3 . Aqui, Im(T) = >=r(1,0,0) quer dizer que qualquer vetor na imagem de T é múltiplo de (1,0,0) .
  • Núcleo de T ( ker(T) ): É o conjunto de todos os vetores em R^3 que são mapeados para o vetor zero por T . Aqui, ker(T) = >=r(0,1,0) , ou seja, qualquer vetor no núcleo é múltiplo de (0,1,0) .
  • Ação de T sobre (0,0,1) : Sabemos que T(0,0,1) = (2,-1,3) .

Passo 3

Vamos montar a matriz da transformação linear T . Em geral, uma transformação linear de R^3 pode ser representada por uma matriz A de 3 times 3 . Então, T(x) = Ax .
Sabemos que:
  1. O núcleo de T é gerado por (0,1,0) . Isso significa que qualquer vetor neste núcleo, como (0,1,0) , é mapeado para (0,0,0) .
  2. A imagem de T é gerada por (1,0,0) . Portanto, todas as colunas da matriz A devem ser múltiplos de (1,0,0) .
  3. T(0,0,1) = (2,-1,3) .

Passo 4

Vamos considerar a matriz A como:
A = a & b & c d & e & f g & h & k
Como a imagem de T é gerada por (1,0,0) , todas as colunas de A devem ser múltiplos de (1,0,0) :
A = a & 0 & 0 d & 0 & 0 g & 0 & 0
Aqui, somente a primeira coluna tem elementos não nulos, pois os outros são múltiplos de (1,0,0) .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição T(0,0,1) = (2,-1,3) . Isso significa que:
A 0 0 1 = 2 -1 3
Multiplicando a matriz A pelo vetor (0,0,1) , obtemos:
a & 0 & 0 d & 0 & 0 g & 0 & 0 0 0 1 = 0 0 0
Mas isso deveria ser igual a (2,-1,3) , o que não está acontecendo. Isso indica que há uma contradição nas condições dadas.

Passo 6

Vamos reavaliar as condições. Se a imagem de T é gerada por (1,0,0) , então todas as colunas da matriz de T devem ser múltiplos de (1,0,0) . No entanto, a condição T(0,0,1) = (2,-1,3) exige que a terceira coluna de A seja (2,-1,3) , que não é um múltiplo de (1,0,0) . Isso cria uma inconsistência, já que não é possível satisfazer ambas as condições simultaneamente.

Resposta

Não existe um operador T: R^3 R^3 que satisfaça todas as condições propostas simultaneamente devido a uma incompatibilidade entre a imagem e a aplicação definida.

Exercícios relacionados