Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um operador com certas propriedades. Especificamente, temos que:
: Isso significa que a imagem de é gerada pelo vetor .
: Isso indica que o núcleo de é gerado pelo vetor .
: E aqui, a aplicação de ao vetor resulta no vetor .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, imagem e núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada uma dessas condições.
Imagem de (): É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Aqui, quer dizer que qualquer vetor na imagem de é múltiplo de .
Núcleo de (): É o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero por . Aqui, , ou seja, qualquer vetor no núcleo é múltiplo de .
Ação de sobre : Sabemos que .
Passo 3
Vamos montar a matriz da transformação linear . Em geral, uma transformação linear de pode ser representada por uma matriz de . Então, .
Sabemos que:
O núcleo de é gerado por . Isso significa que qualquer vetor neste núcleo, como , é mapeado para .
A imagem de é gerada por . Portanto, todas as colunas da matriz devem ser múltiplos de .
.
Passo 4
Vamos considerar a matriz como:
Como a imagem de T é gerada por (1,0,0) , todas as colunas de A devem ser múltiplos de (1,0,0) :
A = a & 0 & 0 d & 0 & 0 g & 0 & 0
Aqui, somente a primeira coluna tem elementos não nulos, pois os outros são múltiplos de (1,0,0) .
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição T(0,0,1) = (2,-1,3) . Isso significa que:
A 0 0 1 = 2 -1 3
Multiplicando a matriz A pelo vetor (0,0,1) , obtemos:
a & 0 & 0 d & 0 & 0 g & 0 & 0 0 0 1 = 0 0 0
Mas isso deveria ser igual a (2,-1,3) , o que não está acontecendo. Isso indica que há uma contradição nas condições dadas.
Passo 6
Vamos reavaliar as condições. Se a imagem de T é gerada por (1,0,0) , então todas as colunas da matriz de T devem ser múltiplos de (1,0,0) . No entanto, a condição T(0,0,1) = (2,-1,3) exige que a terceira coluna de A seja (2,-1,3) , que não é um múltiplo de (1,0,0) . Isso cria uma inconsistência, já que não é possível satisfazer ambas as condições simultaneamente.
Resposta
Não existe um operador T: R^3 R^3 que satisfaça todas as condições propostas simultaneamente devido a uma incompatibilidade entre a imagem e a aplicação definida.