Dado , mostre que:

Passo 1

Vamos resumir a questão: temos um número complexo zneq0 e queremos mostrar que a parte real de 1/z é Re(z)/|z|^2. Para isso, vamos usar as propriedades do conjugado de um complexo e do seu módulo.

Passo 2

Escrevemos z em forma algébrica como z = x + i y, onde x = Re(z) e y = Im(z). O conjugado é z = x - i y e o módulo ao quadrado é |z|^2 = x^2 + y^2.

Passo 3

Para racionalizar o denominador de 1/z, multiplicamos numerador e denominador por z:
1z = 1z cdot zz = zz,z = z|z|^2

Passo 4

Substituindo z = x - i y na expressão acima, obtemos:
1z = x - i yx^2 + y^2 = xx^2 + y^2 ;- ; iyx^2 + y^2
Daí fica claro que a parte real de 1/z é x/(x^2 + y^2).

Resposta

Re(1/z) = Re(z)|z|^2

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