Dado z in C, z neq 0, mostre que:
Im(1z)=-Im z|z|^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado zinC com zneq0, a parte imaginária de 1/z satisfaz
Im!l(tfrac1zr) = -Imzlvert zrvert^2
O conteúdo envolve propriedades de números complexos, conjugado e módulo.

Passo 2

Escrevemos z em suas componentes real e imaginária:
z = x + i,y,
onde x = Rez e y = Imz.

Passo 3

Para calcular 1/z, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de z:
1z = 1x + i,y = x - i,y(x + i,y)(x - i,y) = x - i,yx^2 + y^2 = zlvert zrvert^2

Passo 4

Da expressão acima, a parte imaginária de 1/z é
Im!l(tfrac1zr) = Im!l(zlvert zrvert^2r) = Im(z)lvert zrvert^2
Como Im(z) = -,Im(z), segue
Im!l(tfrac1zr) = -Im(z)lvert zrvert^2

Resposta

Im!l(tfrac1zr) = -Imzlvert zrvert^2

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