Desenvolva as integrais abaixo pelo método de integração Por Partes do produto de duas funções
integral(x^2+3 x-1) cdot e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral (x^2+3x-1),e^2x,dx
usando o método de integração por partes. Vamos aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo u como polinômio (que se simplifica ao derivar) e dv como a exponencial.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2+3x-1, dv = e^2x,dx
Então
du = (2x+3),dx, v = integral e^2x,dx = tfrac12,e^2x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral (x^2+3x-1),e^2x,dx = u,v - integral v,du = 12,(x^2+3x-1),e^2x - 12 integral (2x+3),e^2x,dx
Para simplificar, defina
I1 = integral (2x+3),e^2x,dx

Passo 4

Vamos calcular I1 por partes de novo. Escolha
u1 = 2x+3, dv1 = e^2x,dx
Então
du1 = 2,dx, v1 = tfrac12,e^2x

Passo 5

Aplicando partes em I1:
I1 = u1,v1 - integral v1,du1 = 12,(2x+3),e^2x - integral 12cdot 2,e^2x,dx = 12,(2x+3),e^2x - integral e^2x,dx
Como integral e^2x,dx = tfrac12,e^2x, segue
I1 = 12,(2x+3),e^2x - 12,e^2x = 2x+3-12,e^2x = (x+1),e^2x

Passo 6

Substituindo I1 na expressão original:
integral (x^2+3x-1),e^2x,dx = 12,(x^2+3x-1),e^2x - 12,(x+1),e^2x + C
Colocando em evidência e^2x:
integral (x^2+3x-1),e^2x,dx = e^2x2l(x^2+3x-1 - x -1r) + C = e^2x2l(x^2+2x-2r) + C

Resposta

integral (x^2+3x-1),e^2x,dx = e^2x2,(x^2+2x-2) + C

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