Dado z in C, z neq 0, mostre que:
Re(z) Im(1z)+Im(z) Re(1z)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo zinC com zneq0,
Re(z),Im!l(tfrac1zr) +Im(z),Re!l(tfrac1zr)=0
O conteúdo é álgebra de números complexos: vamos expressar z como x+iy, calcular tfrac1z em termos de x,y e depois usar as fórmulas de parte real e imaginária.

Passo 2

Escrevendo
z = x + i y, x=Re(z),;y=Im(z),
e usando a conjugada para inverter,
1z =1x+iy =x-iyx^2+y^2
Assim,
Re!l(tfrac1zr) =xx^2+y^2, Im!l(tfrac1zr) =-yx^2+y^2

Passo 3

Substituindo na expressão que queremos provar,
Re(z),Im!l(tfrac1zr) +Im(z),Re!l(tfrac1zr) = xl(-yx^2+y^2r) + yl(xx^2+y^2r) =-xy+xyx^2+y^2 =0

Resposta

Re(z),Im!l(tfrac1zr) +Im(z),Re!l(tfrac1zr)=0

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