Dado z in C, z neq 0, mostre que:
Re(z) Re(1z)-Im(z) Im(1z)=1

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo zinC com zneq0, vale a identidade
Re(z),Rel(tfrac1zr);-;Im(z),Iml(tfrac1zr);=;1
Para isso, vamos escrever z em coordenadas reais x e y e usar a forma de 1/z em termos do conjugado.

Passo 2

Escrevamos
z = x + i,y,
com x = Re(z) e y = Im(z). Como zneq0, temos
1z = z|z|^2 = x - i,yx^2 + y^2
Dessa forma,
Re!l(tfrac1zr) = xx^2 + y^2, Im!l(tfrac1zr) = -,yx^2 + y^2

Passo 3

Substituindo essas expressões na combinação desejada, obtemos
Re(z),Rel(tfrac1zr) -Im(z),Iml(tfrac1zr) = xcdotxx^2+y^2 - ycdotl(-yx^2+y^2r) = x^2+y^2x^2+y^2 =1

Resposta

1

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