Dado n in N, seja Pn o conjunto dos polinômios de grau <= n e com coeficientes reais, e considere as operações usuais de adição de polinômios e de multiplicação escalar.
(a) Pn é um espaço vetorial? Prove sua afirmação.
(b) E se considerarmos os polinômios de grau exatamente igual a n, é um espaço vetorial? Por quê?

Passo 1

O enunciado define
Pn=p(x)=a0+a1x+cdots+anx^nmid aiinR
e pede para verificar se esse conjunto, com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação por escalar em R, é um espaço vetorial.
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais sobre R, em particular verificar axiomas de fechamento, existência de zero, inverso, e demais propriedades.

Passo 2

Verificamos fechamento sob soma e multiplicação escalar. Se
p(x)=sumi=0^naix^i, q(x)=sumi=0^nbix^i,
então
p(x)+q(x)=sumi=0^n(ai+bi),x^i
é um polinômio de grau <= n. Assim p+qinPn. Para qualquer lambdainR,
lambda,p(x)=sumi=0^n(lambda ai),x^i
também tem grau <= n, logo lambda pinPn.

Passo 3

Agora verificamos os axiomas restantes:
– Existe o polinômio zero 0(x)=0, que pertence a Pn e é elemento neutro da soma.
– Para cada pinPn existe -pinPn tal que p+(-p)=0.
– A soma é comutativa e associativa, e a multiplicação escalar satisfaz as propriedades distributivas e de associatividade com escalares em R.
Todas essas propriedades decorrem diretamente das mesmas propriedades em R e na definição de soma e produto escalar de polinômios. Concluímos que Pn é um espaço vetorial de dimensão n+1.

Passo 4

Considere agora o conjunto
pinPnmid deg p = n
Primeiro, esse conjunto não contém o polinômio zero, pois deg 0 não é n. Logo falta o elemento neutro da soma. Além disso, a soma de dois polinômios de grau exatamente n pode cancelar o coeficiente de x^n e resultar num polinômio de grau menor que n, portanto não há fechamento na soma. Por essas falhas, esse conjunto não é um espaço vetorial.

Resposta

(a) Pn é um espaço vetorial sobre R.
(b) O conjunto dos polinômios de grau exatamente n não é um espaço vetorial, pois não contém o zero e não é fechado sob soma.

Exercícios relacionados