Dado
, seja
o conjunto dos polinômios de grau
e com coeficientes reais, e considere as operações usuais de adição de polinômios e de multiplicação escalar.
(a)
é um espaço vetorial? Prove sua afirmação.
(b) E se considerarmos os polinômios de grau exatamente igual a
, é um espaço vetorial? Por quê?
(a)
(b) E se considerarmos os polinômios de grau exatamente igual a
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se esse conjunto, com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação por escalar em , é um espaço vetorial.
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais sobre , em particular verificar axiomas de fechamento, existência de zero, inverso, e demais propriedades.
e pede para verificar se esse conjunto, com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação por escalar em
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais sobre
Passo 2
Verificamos fechamento sob soma e multiplicação escalar. Se
então
é um polinômio de grau
. Assim
. Para qualquer
,
também tem grau
, logo
.
Passo 3
Agora verificamos os axiomas restantes:
– Existe o polinômio zero , que pertence a
e é elemento neutro da soma.
– Para cada existe
tal que
.
– A soma é comutativa e associativa, e a multiplicação escalar satisfaz as propriedades distributivas e de associatividade com escalares em .
Todas essas propriedades decorrem diretamente das mesmas propriedades em e na definição de soma e produto escalar de polinômios. Concluímos que
é um espaço vetorial de dimensão
.
– Existe o polinômio zero
– Para cada
– A soma é comutativa e associativa, e a multiplicação escalar satisfaz as propriedades distributivas e de associatividade com escalares em
Todas essas propriedades decorrem diretamente das mesmas propriedades em
Passo 4
Considere agora o conjunto
Primeiro, esse conjunto não contém o polinômio zero, pois
não é
. Logo falta o elemento neutro da soma. Além disso, a soma de dois polinômios de grau exatamente
pode cancelar o coeficiente de
e resultar num polinômio de grau menor que
, portanto não há fechamento na soma. Por essas falhas, esse conjunto não é um espaço vetorial.
Resposta
(a)
é um espaço vetorial sobre
.
(b) O conjunto dos polinômios de grau exatamente não é um espaço vetorial, pois não contém o zero e não é fechado sob soma.
(b) O conjunto dos polinômios de grau exatamente