Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem abaixo:
y^prime+4 xx^2+1 y=e^x cos (x)-x^2x^4+2 x^2+1.

Passo 1

Resumo do enunciado: a equação dada é uma ODE linear de primeira ordem
y' + 4xx^2 + 1,y = e^xcos x - x^2x^4 + 2x^2 + 1
O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de 1ª ordem e vamos precisar do método do fator integrante. Note que o denominador pode ser escrito como (x^2+1)^2.

Passo 2

Para achar o fator integrante, identificamos P(x)=4xx^2+1. Então calculamos
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral 4xx^2+1,dxr)=expl(2ln(x^2+1)r)=(x^2+1)^2

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=(x^2+1)^2. A equação fica
(x^2+1)^2 y' + 4x(x^2+1)y = e^xcos x - x^2
O lado esquerdo é exatamente a derivada de (x^2+1)^2y, ou seja,
ddxl[(x^2+1)^2yr] = e^xcos x - x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
(x^2+1)^2y = integrall(e^xcos x - x^2r),dx + C

Passo 5

Agora calculamos as integrais separadamente. Para integral e^xcos x,dx usamos integração por partes (ou fórmula conhecida) e obtemos
integral e^xcos x,dx = e^x2(sin x + cos x)
E para integral x^2,dx = x^33

Passo 6

Substituindo de volta e isolando y, conseguimos a solução geral:
y = tfrace^x2(sin x + cos x) - tfracx^33 + C(x^2+1)^2

Resposta

y(x)=tfrace^x2l(sin x+cos xr)-tfracx^33+C(x^2+1)^2

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