Resolva o problema de valor inicial:
y^{\prime}-2 y=-x^{2} ; y=\frac{1}{4}
x=0$
y^{\prime}-2 y=-x^{2} ; y=\frac{1}{4}
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
, com
. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante e depois integrar por partes.
Passo 2
A equação está na forma
, com
. O fator integrante é
Passo 3
Multiplicando a equação por
obtemos
Passo 4
Passo 5
e o lado esquerdo se reconhece como derivada de produto:
Passo 6
Passo 7
Integramos ambos os lados:
Passo 8
Passo 9
Para calcular
fazemos duas integrações por partes. O resultado é
Passo 10
Passo 11
Multiplicando por
, a solução geral fica
Passo 12
Passo 13
Aplicando a condição inicial
, temos
Passo 14
Resposta
y(x)=\tfrac12 x^2 + \tfrac12 x + \tfrac14