Resolva o problema de valor inicial:
y^{\prime}-2 y=-x^{2} ; y=\frac{1}{4} quando x=0$

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y' - 2y = -x^2, com y(0)=tfrac14. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante e depois integrar por partes.

Passo 2

A equação está na forma y' + p(x)y = q(x), com p(x)=-2. O fator integrante é mu(x)=e^integral p(x),dx=e^-2x

Passo 3

Multiplicando a equação por e^-2x obtemos

Passo 4

(y' - 2y)e^-2x = -x^2 e^-2x,

Passo 5

e o lado esquerdo se reconhece como derivada de produto:

Passo 6

(y e^-2x)' = -x^2 e^-2x

Passo 7

Integramos ambos os lados:

Passo 8

y e^-2x = integral -x^2 e^-2x ,dx + C

Passo 9

Para calcular integral x^2 e^-2x dx fazemos duas integrações por partes. O resultado é

Passo 10

integral -x^2 e^-2x dx = tfrac12 x^2 e^-2x + tfrac12 x e^-2x + tfrac14 e^-2x + C

Passo 11

Multiplicando por e^2x, a solução geral fica

Passo 12

y(x)=tfrac12 x^2 + tfrac12 x + tfrac14 + C e^2x

Passo 13

Aplicando a condição inicial y(0)=tfrac14, temos

Passo 14

tfrac14 = tfrac14 + Ccdot e^0 implies C=0

Resposta

y(x)=\tfrac12 x^2 + \tfrac12 x + \tfrac14

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