Em um dado não viciado é lançado duas vezes consecutivas. Seja
o mínimo valor dos resultados dos dois lançamentos e seja
a diferença entre o primeiro resultado e o segundo resultado.
a) Obtenha a função de distribuição de probabilidade de
;
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de
;
c) Calcule
.
a) Obtenha a função de distribuição de probabilidade de
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente vai trabalhar com probabilidade, mais especificamente com a distribuição de probabilidade e a função de distribuição acumulada. A gente tem um dado justo que é lançado duas vezes. Tem duas variáveis aleatórias:
, que é o menor valor dos dois lançamentos, e
, que é a diferença entre o primeiro e o segundo resultado. Vamos focar na parte a) e começar a descobrir a função de distribuição de probabilidade de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição de probabilidade. Ela nos diz a probabilidade de cada valor possível que a variável aleatória
pode assumir. Como
é o menor valor dos dois lançamentos, precisamos listar todos os possíveis resultados dos dois lançamentos e identificar qual é o menor em cada caso.
Passo 3
Vamos listar todos os pares possíveis dos lançamentos de um dado justo. Como cada dado tem 6 lados, temos
combinações possíveis:
Passo 4
Agora, para cada par, vamos determinar o menor valor, que será o valor de
:
Passo 5
Vamos contar quantas vezes cada valor de
aparece:
-
: aparece 6 vezes na primeira linha, mais 0 nas outras, totalizando 6 vezes. -
: aparece 1 vez na segunda linha, 2 na terceira, 3 na quarta, 4 na quinta e 5 na sexta, totalizando 5 vezes. -
: aparece 1 vez na terceira linha, 2 na quarta, 3 na quinta e 4 na sexta, totalizando 4 vezes. -
: aparece 1 vez na quarta linha, 2 na quinta e 3 na sexta, totalizando 3 vezes. -
: aparece 1 vez na quinta linha e 2 na sexta, totalizando 2 vezes. -
: aparece 1 vez na sexta linha.
Passo 6
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de
dividindo o número de vezes que aparece pelo total de combinações (36):
Resposta
A função de distribuição de probabilidade de
é: