Em um dado não viciado é lançado duas vezes consecutivas. Seja X o mínimo valor dos resultados dos dois lançamentos e seja Y a diferença entre o primeiro resultado e o segundo resultado.
a) Obtenha a função de distribuição de probabilidade de X;
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de X;
c) Calcule P(X <= 7).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente vai trabalhar com probabilidade, mais especificamente com a distribuição de probabilidade e a função de distribuição acumulada. A gente tem um dado justo que é lançado duas vezes. Tem duas variáveis aleatórias: X, que é o menor valor dos dois lançamentos, e Y, que é a diferença entre o primeiro e o segundo resultado. Vamos focar na parte a) e começar a descobrir a função de distribuição de probabilidade de X.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição de probabilidade. Ela nos diz a probabilidade de cada valor possível que a variável aleatória X pode assumir. Como X é o menor valor dos dois lançamentos, precisamos listar todos os possíveis resultados dos dois lançamentos e identificar qual é o menor em cada caso.

Passo 3

Vamos listar todos os pares possíveis dos lançamentos de um dado justo. Como cada dado tem 6 lados, temos combinações possíveis:

Passo 4

Agora, para cada par, vamos determinar o menor valor, que será o valor de :

Passo 5

Vamos contar quantas vezes cada valor de X aparece:
  • X = 1: aparece 6 vezes na primeira linha, mais 0 nas outras, totalizando 6 vezes.
  • X = 2: aparece 1 vez na segunda linha, 2 na terceira, 3 na quarta, 4 na quinta e 5 na sexta, totalizando 5 vezes.
  • X = 3: aparece 1 vez na terceira linha, 2 na quarta, 3 na quinta e 4 na sexta, totalizando 4 vezes.
  • X = 4: aparece 1 vez na quarta linha, 2 na quinta e 3 na sexta, totalizando 3 vezes.
  • X = 5: aparece 1 vez na quinta linha e 2 na sexta, totalizando 2 vezes.
  • X = 6: aparece 1 vez na sexta linha.

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada valor de X dividindo o número de vezes que aparece pelo total de combinações (36):
P(X=1) &= 636 = 16 P(X=2) &= 536 P(X=3) &= 436 = 19 P(X=4) &= 336 = 112 P(X=5) &= 236 = 118 P(X=6) &= 136

Resposta

A função de distribuição de probabilidade de X é:
P(X=x) = 16 & se x=1, 536 & se x=2, 19 & se x=3, 112 & se x=4, 118 & se x=5, 136 & se x=6, 0 & caso contrário á

Exercícios relacionados