Oito barras de aço carbono, de tamanhos iguais, foram selecionadas e medidas o seu peso ( em kg ) e densidade ( em kg / m^3 ). Abaixo, estão listados os dados encontrados:
rcccccccc Peso: & 37,4 & 38,7 & 36,5 & 41,2 & 32,5 & 39,2 & 40,5 & 34,7 Densidade: & 7860 & 7903 & 7802 & 8028 & 7593 & 7980 & 7965 & 7798
a) Calcule a média e mediana para cada uma das variáveis observadas. Interprete e faça uma comparação. (Peso: barx=37,59, M d=38,05. Densidade: barx=7866, M d=7882 )
b) Calcule a variância, desvio padrão e coeficiente de variação para cada uma das variáveis observadas. Interprete. (Peso: s^2=8,69, s=2,95, C V=7,8 %. Densidade: s^2=19099,27, s=138,2, C V=1,76 %)
c) Qual variável observada possui maior variabilidade? Por que?
d) Observar um peso de 41,2 kg é considerado um valor usual para esse conjunto de dados? Justifique. (Sim: E P=1,23 )
e) Observar uma densidade de 7593 kg / m^3 é considerado um valor comum para esse conjunto de dados? Justifique.(Sim: E P=-1,98)
f) Construa uma tabela de frequências para a variável peso e interprete.

Passo 1

O enunciado apresenta duas variáveis observadas em oito barras de aço de mesmo tamanho: o peso (em kg) e a densidade (em kg/ m^3). Vamos aplicar estatística descritiva para obter medidas de tendência central (média e mediana), de dispersão (variância, desvio-padrão e coeficiente de variação), escore-padrão para identificar valores atípicos, e construir uma tabela de frequências para o peso.

Passo 2

Para o peso calculamos a média com a fórmula
barx = 1nsumi=1^n xi
e a mediana ordenando os dados e tomando o valor médio dos dois centrais (pois n=8 é par).
– Soma dos pesos: 300,7 kg
– Média:
barxpeso = 300,78 = 37,59;kg
– Ordenando: 32,5,,34,7,,36,5,,37,4,,38,7,,39,2,,40,5,,41,2.
Mediana = média entre 4.º e 5.º valores = tfrac37,4+38,72=38,05 kg.

Passo 3

Para a densidade fazemos o mesmo procedimento.
– Soma das densidades: 62,929 kg/ m^3
– Média:
barxdens = 62,9298 = 7,866,13;kg/m^3
– Ordenando: 7,593,,7,798,,7,802,,7,860,,7,903,,7,965,,7,980,,8,028.
Mediana = tfrac7,860+7,9032=7,881,5 kg/ m^3.

Passo 4

Para o peso usamos a variância amostral
s^2 = 1n-1sumi=1^n (xi-barx)^2
e o desvio-padrão s = raizs^2. Depois o coeficiente de variação é
CV = sbarxtimes100%
– Soma dos quadrados dos desvios approx 60,82
s^2peso = tfrac60,827 = 8,69;(kg)^2
speso = raiz8,69 = 2,95;kg
CVpeso = 2,9537,59times100% = 7,84%.

Passo 5

Para a densidade repetimos:
– Soma dos quadrados dos desvios approx 133604,5
s^2dens = tfrac133,604,57 = 19,088,21;(kg/m^3)^2
sdens = raiz19,088,21 = 138,11;kg/m^3
CVdens = 138,117,866,13times100% = 1,76%.

Passo 6

Comparando os CV, o peso ( 7,84%) tem variabilidade relativa maior do que a densidade ( 1,76%), portanto é a variável com maior dispersão proporcional.

Passo 7

Para verificar se 41,2 kg é valor atípico calculamos o escore-padrão
z = x-barxs = 41,2 - 37,592,95 = 1,23
Como |z|<2, é um valor usual no conjunto.

Passo 8

Para 7,593 kg/ m^3 fazemos
z = 7,593 - 7,866,13138,11 = -1,98
Também |z|<2, logo valor comum para este conjunto.

Passo 9

Usando a regra de Sturges obtemos cerca de 4 classes. Escolhi intervalos de 32 a 44 kg com largura approx 3 kg:
Classe (kg) Fi hi Fa
32 35 2 25 % 2
35 38 2 25 % 4
38 41 3 37,5 % 7
41 44 1 12,5 % 8
Interpretação: a maior concentração dos pesos está na classe 38 41 kg.

Resposta

a) Peso: barx=37,59 kg, Md=38,05 kg. Densidade: barx=7,866,13 kg/ m^3, Md=7,881,5 kg/ m^3.
b) Peso: s^2=8,69, s=2,95, CV=7,84%. Densidade: s^2approx19,088, sapprox138,11, CV=1,76%.
c) O peso, pois tem maior coeficiente de variação.
d) Sim; escore-padrão z=1,23 ( |z|<2).
e) Sim; escore-padrão z=-1,98 ( |z|<2).
f) Tabela de frequências dada no Passo 9.

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