Dado a \neq 0, considere a matriz
M=\left[\begin{array}{lll} a & a & 0 \\\ a & a & 0 \\\\ 0 & 0 & a \end{array}\right]
Assinale a alternativa falsa.
a. M é diagonalizável.
b. M é ortogonal.
c. M é simétrica.
d. Os autovalores de M são 0, a e 2 a.
e. Os autovetores de M são [1,-1,0],[1,1,0] e [0,0,1].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = \begin{pmatrix} a & a & 0\\\ a & a & 0\\\\ 0 & 0 & a \end{pmatrix},
com a\neq0, e pede para identificar a alternativa falsa entre: (a) diagonalizável, (b) ortogonal, (c) simétrica, (d) autovalores 0,a,2a e (e) autovetores [1,-1,0], [1,1,0], [0,0,1]. Vamos usar teoria de autovalores/autovetores, simetria de matrizes e condição de ortogonalidade.

Passo 2

Verificamos imediatamente que M é simétrica, pois M^T=M. Matrizes simétricas reais são diagonalizáveis ortogonalmente, logo M é diagonalizável. Desse modo, (a) e (c) são verdadeiras.

Passo 3

Para achar os autovalores, note que o bloco superior 2\times2 é
\begin{pmatrix}a & a\\\ a & a\end{pmatrix},
cujo traço é 2a e determinante é 0, então seus autovalores são 2a e 0. O elemento isolado a dá o autovalor a. Portanto os autovalores são \{0,a,2a\}, fazendo (d) verdadeira.

Passo 4

Calculemos os autovetores associados:
— Para \lambda=0, resolvemos (M-0I)x=0, o que dá a(x_1+x_2)=0 e sem restrição em x_1=-x_2, x_3=0. Um vetor é [1,-1,0].
— Para \lambda=2a, (M-2aI)x=0 leva a a(x_1+x_2)=2a x_1 e simétrica em x_1=x_2, x_3=0. Um vetor é [1,1,0].
— Para \lambda=a, (M-aI)x=0 anula apenas o bloco 2\times2, forçando x_1=x_2=0, e x_3 livre. Um vetor é [0,0,1].
Logo (e) também é verdadeira.

Passo 5

Uma matriz M é ortogonal se M^TM=I. Aqui M^T=M, então M^TM=M^2. Se fosse ortogonal teríamos M^2=I, o que exigiria que todos os autovalores satisfizessem \lambda^2=1. Contudo nossos autovalores ao quadrado são 0,\,a^2,\,4a^2, e nenhum deles é igual a 1 para todo a\neq0. Assim M não é ortogonal, tornando (b) falsa.

Resposta

(b) M não é ortogonal.

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