Sabe-se que o conjunto \mathcal{B}=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} é ortonormal em \mathbb{R}^{n}. Qual alternativa é falsa?
a. \mathcal{B} é uma base de \mathbb{R}^{n}.
b. As coordenadas de u na base \mathcal{B} são os coeficientes de Fourier de u na base \mathcal{B}.
c. Se u=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{n} v_{n}, então \alpha_{j}=u \cdot v_{j}, para j=1, \ldots, n.
d. Qualquer subconjunto de \mathcal{B} é L.I.
e. Se M é uma matriz cujas colunas são os vetores de \mathcal{B}, \operatorname{então~} \operatorname{det}(M)=0.

Passo 1

O enunciado diz que \mathcal{B}=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\} é um conjunto ortonormal em \mathbb{R}^{n} e pede para identificar a alternativa falsa. Vamos usar propriedades de conjuntos ortonormais, bases ortonormais e matrizes ortogonais para cada item.

Passo 2

Para a alternativa (a): um conjunto ortonormal de n vetores em \mathbb{R}^{n} é necessariamente uma base de \mathbb{R}^{n}, pois é formado por n vetores linearmente independentes que geram todo o espaço. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Para a alternativa (b): os coeficientes de Fourier de um vetor u em relação a uma base ortonormal \mathcal{B} são justamente as coordenadas de u nessa base, definidas por \langle u,v_{j}\rangle. Portanto, (b) também é verdadeira.

Passo 4

Para a alternativa (c): se
u=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n},
então, usando ortonormalidade,
\alpha_{j} = \langle u,v_{j}\rangle \quad\text{para }j=1,\dots,n.
Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Para a alternativa (d): qualquer subconjunto de um conjunto ortonormal permanece ortonormal (ou pelo menos ortogonal) e, portanto, é linearmente independente. Assim, (d) é verdadeira.

Passo 6

Para a alternativa (e): se M é a matriz cujas colunas são os vetores de \mathcal{B}, então M é uma matriz ortogonal. Toda matriz ortogonal satisfaz
M^{T}M = I \quad\Longrightarrow\quad |\det(M)| = 1,
de modo que \det(M)\neq 0. Portanto, (e) é falsa.

Resposta

(e)

Exercícios relacionados