Sabe-se que o conjunto
é ortonormal em
. Qual alternativa é falsa?
a.
é uma base de
.
b. As coordenadas de
na base
são os coeficientes de Fourier de
na base
.
c. Se
, então
, para
.
d. Qualquer subconjunto de
é L.I.
e. Se
é uma matriz cujas colunas são os vetores de
.
a.
b. As coordenadas de
c. Se
d. Qualquer subconjunto de
e. Se
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto ortonormal em
e pede para identificar a alternativa falsa. Vamos usar propriedades de conjuntos ortonormais, bases ortonormais e matrizes ortogonais para cada item.
Passo 2
Para a alternativa (a): um conjunto ortonormal de
vetores em
é necessariamente uma base de
, pois é formado por
vetores linearmente independentes que geram todo o espaço. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Para a alternativa (b): os coeficientes de Fourier de um vetor
em relação a uma base ortonormal
são justamente as coordenadas de
nessa base, definidas por
. Portanto, (b) também é verdadeira.
Passo 4
Para a alternativa (c): se
então, usando ortonormalidade,
Logo, (c) é verdadeira.
Passo 5
Para a alternativa (d): qualquer subconjunto de um conjunto ortonormal permanece ortonormal (ou pelo menos ortogonal) e, portanto, é linearmente independente. Assim, (d) é verdadeira.
Passo 6
Para a alternativa (e): se
é a matriz cujas colunas são os vetores de
, então
é uma matriz ortogonal. Toda matriz ortogonal satisfaz
de modo que
. Portanto, (e) é falsa.
Resposta
(e)