Determinar o centro e as equações dos eixos dos seguintes elipsóides:
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádrupla
e pede o centro e as equações dos eixos principais. O conteúdo é o de elipsoide sem termos mistos, alinhado aos eixos coordenados, de modo que bastará completar quadrados nos três pares de variáveis para encontrar o centro e depois passar à forma canônica.
Passo 2
Agrupamos os termos em
,
e
e completamos o quadrado em cada um:
Completar quadrados:
Passo 3
Substituindo e distribuindo os coeficientes:
Os termos constantes juntam-se a
Logo a equação fica
Passo 4
Passamos para a forma canônica dividindo tudo por
:
Os semieixos são
,
e
, e o centro é
Passo 5
Como não há termos mistos, os eixos principais são as retas paralelas aos eixos
,
e
passando pelo centro. Suas equações paramétricas ou cartesianas são:
Eixo 1 (direção ):
.
Eixo 2 (direção ):
.
Eixo 3 (direção ):
.
Eixo 1 (direção
Eixo 2 (direção
Eixo 3 (direção
Resposta
Centro:
.
Eixos principais:
y= , z=
; x=
, z=
; x=
, y=
.
Eixos principais:
y=