Determinar o centro e as equações dos eixos dos seguintes elipsóides:
3 x^{2}+4 y^{2}+5 z^{2}+6 x+16 z-10 y-1=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrupla
3x^{2}+4y^{2}+5z^{2}+6x-10y+16z-1=0
e pede o centro e as equações dos eixos principais. O conteúdo é o de elipsoide sem termos mistos, alinhado aos eixos coordenados, de modo que bastará completar quadrados nos três pares de variáveis para encontrar o centro e depois passar à forma canônica.

Passo 2

Agrupamos os termos em x, y e z e completamos o quadrado em cada um:
3\bigl(x^{2}+2x\bigr)+4\bigl(y^{2}-\tfrac{10}{4}y\bigr)+5\bigl(z^{2}+\tfrac{16}{5}z\bigr)-1=0.
Completar quadrados:
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1,\quad y^{2}-\tfrac{10}{4}y=\bigl(y-\tfrac{5}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{25}{16},\quad z^{2}+\tfrac{16}{5}z=\bigl(z+\tfrac{8}{5}\bigr)^{2}-\tfrac{64}{25}.

Passo 3

Substituindo e distribuindo os coeficientes:
3\bigl((x+1)^{2}-1\bigr) +4\Bigl(\bigl(y-\tfrac{5}{4}\bigr)^{2}-\tfrac{25}{16}\Bigr) +5\Bigl(\bigl(z+\tfrac{8}{5}\bigr)^{2}-\tfrac{64}{25}\Bigr) -1=0.
Os termos constantes juntam-se a
-3-\!4\cdot\tfrac{25}{16}-5\cdot\tfrac{64}{25}-1 =-\tfrac{461}{20}.
Logo a equação fica
3(x+1)^{2}+4\Bigl(y-\tfrac{5}{4}\Bigr)^{2}+5\Bigl(z+\tfrac{8}{5}\Bigr)^{2} -\tfrac{461}{20}=0.

Passo 4

Passamos para a forma canônica dividindo tudo por \tfrac{461}{20}:
\frac{(x+1)^{2}}{\tfrac{461}{60}} +\frac{\bigl(y-\tfrac{5}{4}\bigr)^{2}}{\tfrac{461}{80}} +\frac{\bigl(z+\tfrac{8}{5}\bigr)^{2}}{\tfrac{461}{100}} =1.
Os semieixos são \sqrt{\tfrac{461}{60}}, \sqrt{\tfrac{461}{80}} e \sqrt{\tfrac{461}{100}}, e o centro é
\bigl(-1,\;\tfrac{5}{4},\;-\,\tfrac{8}{5}\bigr).

Passo 5

Como não há termos mistos, os eixos principais são as retas paralelas aos eixos x, y e z passando pelo centro. Suas equações paramétricas ou cartesianas são:
Eixo 1 (direção x): \;y=\tfrac{5}{4},\;z=-\tfrac{8}{5}.
Eixo 2 (direção y): \;x=-1,\;z=-\tfrac{8}{5}.
Eixo 3 (direção z): \;x=-1,\;y=\tfrac{5}{4}.

Resposta

Centro: \bigl(-1,\;5/4,\;-8/5\bigr).
Eixos principais:
y= 5/4, z= -8/5; x= -1, z= -8/5; x= -1, y= 5/4.

Exercícios relacionados