Dados os complexos
e
, prove que se
, então:
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas números complexos em forma polar:
e pede que provemos que, se
então
e
com
.
Informações relevantes e observações que já podemos anotar (sem resolver ainda):
-
e representam os módulos (normas) de e ; isto é, e . -
e representam os argumentos (ângulos) de e . Tomaremos argumentos em radianos e lembrando que argumentos são determinados módulo . - As razões
e só fazem sentido se e . Portanto assumimos e .
Passo 2
Lembra da regra fundamental da forma polar: quando multiplicamos dois complexos escritos em forma polar, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Vou provar isso passo a passo para você poder usar sem medo na prova.
Se temos
então o produto é
Usando as fórmulas trigonométricas de soma de ângulos:
obtemos
Conclusão: ao multiplicar, o módulo vira
e o argumento vira
.
Passo 3
Agora deduzimos a regra para inverso e divisão. Se
então o inverso multiplicativo
(que satisfaz
) tem módulo
e argumento
. Em forma:
Isso é fácil de ver aplicando o passo anterior com
e exigindo produto igual a
(módulo
e argumento
módulo
).
Portanto, a divisão
pode ser vista como
. Assim, usando as regras,
Analogamente,
Passo 4
Agora usamos a igualdade dada
. Escrevendo ambas em forma polar já obtida:
Quando dois números complexos em forma polar são iguais, duas coisas seguem:
- Seus módulos (normas) são iguais.
- Seus argumentos são iguais módulo
(isto é, diferem por para algum ).
Vou aplicar essas duas condições à igualdade acima.
Passo 5
Igualando os módulos: o módulo do lado esquerdo é
e do lado direito é
. Logo
Multiplicando em cruz obtemos
Como assumimos
e
(e, na verdade, ambos
porque divisão foi feita), temos
Isso resolve a primeira parte que precisamos provar.
Passo 6
Agora igualamos os argumentos. O argumento do lado esquerdo é
. O argumento do lado direito é
. Igualdade de complexos exige
Isso significa que existe
tal que
Reorganizando:
Portanto obtemos a segunda conclusão desejada:
com
.
Passo 7
Comentário de verificação (útil na prova): se
e
então
Como
e
, temos
(número real igual a
ou
). Analogamente
. Logo a condição é também suficiente — não há contradição.