Dados os complexos z=\rho(\cos (\theta)+i \cdot \operatorname{sen}(\theta)) \quad e \mathrm{w}=\beta[\cos (\alpha)+\mathrm{i} \cdot \operatorname{sen}(\alpha)], prove que se \frac{\mathrm{z}}{\mathrm{w}}=\frac{\mathrm{w}}{\mathrm{z}}, então: \rho=\beta e \theta-\alpha=\mathrm{k} . \pi, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}.

Passo 1

O enunciado dá duas números complexos em forma polar:
z=\rho\bigl(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr)
w=\beta\bigl(\cos(\alpha)+\mathrm{i}\sin(\alpha)\bigr)
e pede que provemos que, se
\frac{z}{w}=\frac{w}{z},
então \rho=\beta e \theta-\alpha=k\pi com k\in\mathbb{Z}.
Informações relevantes e observações que já podemos anotar (sem resolver ainda):
  • \rho e \beta representam os módulos (normas) de z e w; isto é, \rho=|z|\ge 0 e \beta=|w|\ge 0.
  • \theta e \alpha representam os argumentos (ângulos) de z e w. Tomaremos argumentos em radianos e lembrando que argumentos são determinados módulo 2\pi.
  • As razões \frac{z}{w} e \frac{w}{z} só fazem sentido se z\neq 0 e w\neq 0. Portanto assumimos \rho>0 e \beta>0.

Passo 2

Lembra da regra fundamental da forma polar: quando multiplicamos dois complexos escritos em forma polar, os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Vou provar isso passo a passo para você poder usar sem medo na prova.
Se temos
u = r\bigl(\cos \varphi + \mathrm{i}\sin\varphi\bigr),\qquad v = s\bigl(\cos \psi + \mathrm{i}\sin\psi\bigr),
então o produto é
uv = rs\bigl((\cos\varphi\cos\psi - \sin\varphi\sin\psi) + \mathrm{i}(\cos\varphi\sin\psi + \sin\varphi\cos\psi)\bigr).
Usando as fórmulas trigonométricas de soma de ângulos:
\cos(\varphi+\psi)=\cos\varphi\cos\psi-\sin\varphi\sin\psi,
\sin(\varphi+\psi)=\cos\varphi\sin\psi+\sin\varphi\cos\psi,
obtemos
uv = rs\bigl(\cos(\varphi+\psi)+\mathrm{i}\sin(\varphi+\psi)\bigr).
Conclusão: ao multiplicar, o módulo vira rs e o argumento vira \varphi+\psi.

Passo 3

Agora deduzimos a regra para inverso e divisão. Se
w=\beta\bigl(\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha\bigr),
então o inverso multiplicativo w^{-1} (que satisfaz w\cdot w^{-1}=1) tem módulo \frac{1}{\beta} e argumento -\alpha. Em forma:
w^{-1}=\frac{1}{\beta}\bigl(\cos(-\alpha)+\mathrm{i}\sin(-\alpha)\bigr).
Isso é fácil de ver aplicando o passo anterior com r=\beta,\varphi=\alpha e exigindo produto igual a 1 (módulo 1 e argumento 0 módulo 2\pi).
Portanto, a divisão z/w pode ser vista como z\cdot w^{-1}. Assim, usando as regras,
\frac{z}{w}=\frac{\rho}{\beta}\bigl(\cos(\theta-\alpha)+\mathrm{i}\sin(\theta-\alpha)\bigr).
Analogamente,
\frac{w}{z}=\frac{\beta}{\rho}\bigl(\cos(\alpha-\theta)+\mathrm{i}\sin(\alpha-\theta)\bigr).

Passo 4

Agora usamos a igualdade dada \dfrac{z}{w}=\dfrac{w}{z}. Escrevendo ambas em forma polar já obtida:
\frac{\rho}{\beta}\bigl(\cos(\theta-\alpha)+\mathrm{i}\sin(\theta-\alpha)\bigr) = \frac{\beta}{\rho}\bigl(\cos(\alpha-\theta)+\mathrm{i}\sin(\alpha-\theta)\bigr).
Quando dois números complexos em forma polar são iguais, duas coisas seguem:
  1. Seus módulos (normas) são iguais.
  2. Seus argumentos são iguais módulo 2\pi (isto é, diferem por 2k\pi para algum k\in\mathbb{Z}).
Vou aplicar essas duas condições à igualdade acima.

Passo 5

Igualando os módulos: o módulo do lado esquerdo é \dfrac{\rho}{\beta} e do lado direito é \dfrac{\beta}{\rho}. Logo
\frac{\rho}{\beta}=\frac{\beta}{\rho}.
Multiplicando em cruz obtemos
\rho^2=\beta^2.
Como assumimos \rho\ge0 e \beta\ge0 (e, na verdade, ambos >0 porque divisão foi feita), temos
\rho=\beta.
Isso resolve a primeira parte que precisamos provar.

Passo 6

Agora igualamos os argumentos. O argumento do lado esquerdo é \theta-\alpha. O argumento do lado direito é \alpha-\theta. Igualdade de complexos exige
\theta-\alpha \equiv \alpha-\theta \quad(\bmod\\\ 2\pi).
Isso significa que existe k\in\mathbb{Z} tal que
\theta-\alpha = \alpha-\theta + 2k\pi.
Reorganizando:
2(\theta-\alpha)=2k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta-\alpha = k\pi.
Portanto obtemos a segunda conclusão desejada: \theta-\alpha=k\pi com k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Comentário de verificação (útil na prova): se \rho=\beta e \theta-\alpha=k\pi então
\frac{z}{w}=\frac{\rho}{\rho}\bigl(\cos(k\pi)+\mathrm{i}\sin(k\pi)\bigr)=\cos(k\pi)+\mathrm{i}\sin(k\pi).
Como \sin(k\pi)=0 e \cos(k\pi)=(-1)^k, temos \dfrac{z}{w}=(-1)^k (número real igual a 1 ou -1). Analogamente \dfrac{w}{z}=(-1)^k. Logo a condição é também suficiente — não há contradição.

Resposta

\rho=\beta
\theta-\alpha=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}

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