Dados os complexos z=\rho(\cos (\theta)+i \cdot \operatorname{sen}(\theta)) e \mathrm{w}=\rho^{2}[\cos (2 \theta)+\mathrm{i} \cdot \operatorname{sen}(2 \theta)], prove que: \frac{\mathrm{w}}{\mathrm{z}}=\mathrm{z}.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
z=\rho\bigl(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr)
e
w=\rho^{2}\bigl(\cos(2\theta)+\mathrm{i}\sin(2\theta)\bigr)
e pede para provar que
\frac{w}{z}=z.
Informações relevantes que temos: \rho e \theta são valores reais; para que a divisão \frac{w}{z} faça sentido precisamos de z\neq 0, o que exige \rho\neq 0 (note que \cos\theta e \sin\theta não são simultaneamente zero para nenhum \theta). A tarefa é mostrar a igualdade indicada a partir dessas expressões.

Passo 2

Uma ferramenta útil aqui é notar a identidade trigonométrica complexa de ângulo duplo:
\cos(2\theta)+\mathrm{i}\sin(2\theta)=\bigl(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr)^{2}.
Vou provar isso expandindo o quadrado do binômio. Calcule:
\bigl(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr)^{2} =\cos^{2}(\theta)+2\mathrm{i}\cos(\theta)\sin(\theta)+\mathrm{i}^{2}\sin^{2}(\theta).
Como \mathrm{i}^{2}=-1, isso vira
\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta)+2\mathrm{i}\cos(\theta)\sin(\theta).
Agora usamos as identidades trigonométricas de ângulo duplo
\cos(2\theta)=\cos^{2}(\theta)-\sin^{2}(\theta),\qquad \sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta),
para reconhecer que o resultado é exatamente
\cos(2\theta)+\mathrm{i}\sin(2\theta).
Logo a identidade está demonstrada.

Passo 3

Usando a identidade do passo anterior podemos reescrever w como
w=\rho^{2}\bigl(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr)^{2}.
Agora calculamos a razão \dfrac{w}{z}:
\frac{w}{z} =\frac{\rho^{2}\bigl(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr)^{2}} {\rho\bigl(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr)}.
Como \rho\neq 0 e \cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\neq 0, podemos cancelar um fator \rho e um fator \bigl(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr) no numerador e no denominador, obtendo
\frac{w}{z}=\rho\bigl(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\bigr).
Mas a expressão à direita é exatamente z. Portanto
\frac{w}{z}=z,
como queríamos provar.

Passo 4

Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: tome \rho=2 e \theta=\pi/6 ( 30^\circ ). Então
z=2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{6})+\mathrm{i}\sin(\tfrac{\pi}{6})\bigr) =2\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\mathrm{i}\tfrac{1}{2}\bigr)=\sqrt{3}+\mathrm{i}.
E
w=4\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{3})+\mathrm{i}\sin(\tfrac{\pi}{3})\bigr) =4\bigl(\tfrac{1}{2}+\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=2+2\mathrm{i}\sqrt{3}.
Calculando a razão:
\frac{w}{z}=\frac{2+2\mathrm{i}\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\mathrm{i}}
multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{3}-\mathrm{i} obtemos
\frac{(2+2\mathrm{i}\sqrt{3})(\sqrt{3}-\mathrm{i})}{(\sqrt{3}+\mathrm{i})(\sqrt{3}-\mathrm{i})} =\frac{4\sqrt{3}+4\mathrm{i}}{4}=\sqrt{3}+\mathrm{i}=z,
confirmando o resultado do passo anterior.

Resposta

z

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