Dados os complexos
e
, prove que:
.
Passo 1
O enunciado dá os números complexos
e
e pede para provar que
Informações relevantes que temos:
e
são valores reais; para que a divisão
faça sentido precisamos de
, o que exige
(note que
e
não são simultaneamente zero para nenhum
). A tarefa é mostrar a igualdade indicada a partir dessas expressões.
Passo 2
Uma ferramenta útil aqui é notar a identidade trigonométrica complexa de ângulo duplo:
Vou provar isso expandindo o quadrado do binômio. Calcule:
Como
, isso vira
Agora usamos as identidades trigonométricas de ângulo duplo
para reconhecer que o resultado é exatamente
Logo a identidade está demonstrada.
Passo 3
Usando a identidade do passo anterior podemos reescrever
como
Agora calculamos a razão
:
Como
e
, podemos cancelar um fator
e um fator
no numerador e no denominador, obtendo
Mas a expressão à direita é exatamente
. Portanto
como queríamos provar.
Passo 4
Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: tome
e
(
). Então
E
Calculando a razão:
multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
obtemos
confirmando o resultado do passo anterior.