Dado um número n representado em excesso de k, como vocé poderia encontrar a representaçīo em excesso de k do número -n ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Nos é dado um número n já representado no sistema "excesso de k" (ou excess‑ k).
  • A pergunta: como encontrar a representação em excesso de k do número -n usando essa informação?
  • Pressuposições claras que vou usar sem perguntar nada: usamos a mesma largura de bits (mesma quantidade de dígitos) para representar n e -n, e o valor codificado é um inteiro sem sinal E no intervalo [0,2^W-1] (onde W é o número de bits). Se algum valor final sair fora do intervalo, então -n não é representável nesse mesmo formato.

Passo 2

O que é "excesso de k" (a ideia central)
  • Na representação excesso‑ k um valor inteiro v é codificado por um inteiro sem sinal E segundo a relação
E = v + k.
  • Aqui:
    • v é o valor aritmético (por exemplo v=n ou v=-n);
    • k é o viés (bias) fixo do sistema;
    • E é o inteiro que efetivamente vai para os bits (valor codificado).
  • A inversa (decodificar) é
v = E - k.
Expliquei o que cada símbolo significa para você poder aplicar sem erro na prova.

Passo 3

Método direto e simples (decodificar → negar → codificar)
  • Passo a passo lógico:
    1. Se você tem a codificação de n, chame-a de E_n. Então n = E_n - k.
    2. Queremos -n. Negando: -n = -(E_n - k) = k - E_n.
    3. Codificar -n em excesso‑ k: E_{-n} = (-n) + k.
  • Substituindo -n na última expressão obtemos uma fórmula direto em termos de E_n:
E_{-n} = k - n = k - (E_n - k) = 2k - E_n.
  • Ou, dito de maneira mais óbvia e prática: para obter a codificação de -n calcule k-n (que é (-n)+k) e escreva esse inteiro em binário com a mesma largura de bits.

Passo 4

Interpretação prática quando você tem os bits de n
  • Se você possui a sequência de bits que representa E_n (isto é, os bits do número em excesso‑ k):
    1. Converta esses bits para o inteiro sem sinal E_n.
    2. Calcule E_{-n} = 2k - E_n.
    3. Converta E_{-n} para binário usando a mesma largura W de bits.
  • Atenção ao intervalo: é preciso que E_{-n} caia no intervalo [0,2^W-1]. Equivalentemente, k-n deve estar entre 0 e 2^W-1. Se não estiver, -n não é representável com essa largura e esse viés.

Passo 5

Exemplo numérico bem mastigado (excesso‑7 com W=4 bits)
  • Suponha W=4 e k=7 (excesso‑7, comum em exemplos).
  • Tome n=3.
    1. Codificação de n: E_n = n + k = 3 + 7 = 10. Em binário com 4 bits: E_n = 1010_2.
    2. Aplicando a fórmula: E_{-n} = 2k - E_n = 2\cdot 7 - 10 = 14 - 10 = 4.
    3. Em binário com 4 bits: E_{-n} = 0100_2.
    4. Verificação direta: -n = -3. Codificar: (-3) + k = -3 + 7 = 4, que confere com o E_{-n} obtido.
  • Esse exemplo mostra na prática: decodifica, nega, recodifica ou usa a fórmula direta 2k - E_n.

Passo 6

Condições de representabilidade e dicas para a prova
  • Condição para que tanto n quanto -n sejam representáveis com W bits no excesso‑ k:
    • Os códigos E devem ficar em [0,2^W-1].
    • Para -n isso exige 0 \le k - n \le 2^W - 1.
  • Dica rápida para a prova:
    • Se te der os bits de n, faça a subtração inteira E_{-n} = 2k - E_n (ou decodifica e recodifica). Faça as contas em decimal antes de passar para binário — é menos sujeito a erro mental.
    • Sempre especifique a largura W dos bits se a questão pedir, porque k e W juntos definem o espaço de representação.

Resposta

(-n)_{\,\text{excess-}k} = k - n
Se E_n é o código (em inteiro não‑sinal) de n, então E_{-n} = 2k - E_n.

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